数学 最新3类编 16 空间角与距离 文pdf

战争背后的数学奥秘( 一) 二战中, 由于应用了统计分析法, 美军采取了适当的防空对策, 日军的“ 自杀飞机” 并 未取得预想的战绩, 美军大型主力舰艇被自杀飞机击沉的数量十分有限图为日本二战时期的I “ 樱花” 自杀 飞机 第 十 六 章 空间角与距离 一、选择题 ( 四川文 )如图, 半径为R的半球O的底面圆O 在平面内, 过点O作平面的垂线交半球面于点A, 过圆O的 直径C D作与平面成 角的平面与半球面相交, 所得交线上 到平面的距离最大的点为B, 该交线上的一点P满足B O P , 则A、P两点间的球面距离为( ) ( 第题) A Ra r c c o s B R C Ra r c c o s D R ( 全国大纲文)已知直二面角 l , 点A,A C l,C为垂足, 点B,B Dl,D为垂足若A B,A CB D , 则C D等于( ) A B CD ( 重庆文 )高为的四棱锥SA B C D的底面是 边长为的正方形, 点S、A、B、C、D均在半径为的同一球面 第十六章 空间角与距离 战争背后的数学奥秘( 二) 作战与数学常常是密不可分的, 无论是过去还是现在以及将来随着现代军事科技的发展, 新 式武器以及作战的测算, 更使数学充当着重要的角色, 往往其计算是否精确, 决定了武器的精确和作战的后果 上, 则底面A B C D的中心与顶点S之间的距离为( ) A B C D ( 全国 文)在直三棱柱A B CABC中, 若 B A C ,A BA CA A, 则异面直线B A与A C所成的 角等于( ) A B C D ( 全国文)在正方体A B C DABCD中, B B与平面A C D所成角的余弦值为( ) A B C D ( 全国文)已知在三棱锥SA B C中, 底面A B C 为边长等于的等边三角形,S A垂直于底面A B C,S A , 那么直 线A B与平面S B C所成角的正弦值为( ) A B C D ( 全国文 )与正方体A B C DABCD的三 条棱A B、C C、AD所在直线的距离相等的点( ) A有且只有个B有且只有个 C有且只有个D有无数个 ( 重庆文)到两互相垂直的异面直线的距离相等 的点( ) A只有个B恰有个 C恰有个D有无穷多个 二、填空题 ( 全国大纲文 )已知正方体A B C DABCD 中,E、 F分别为B B、C C的中点, 那么异面直线A E与DF所 成角的余弦值为 ( 福 建 文 )如 图, 正 方 体A B C DABCD 中,A B , 点E为AD的中点, 点F在C D 上, 若E F平面 A BC, 则线段E F的长度等于 ( 第 题) ( 全国新课标文 )已知两个圆锥有公共底面, 且 两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 若圆锥底面面 积是这个球面面积的 , 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体 积较大者的高的比值为 ( 四川文 )如图, 二面角 l 的大小是 , 线 段A B,Bl,A B与l所成的角为 , 则A B与平面所成的 角的正弦值是 ( 第 题) 三、解答题 ( 浙江 文 )如图, 在侧棱垂直底面的四棱柱 A B C DABCD中,ADB C,ADA B,A B ,AD, B C,A A,E是DD的中点,F是平面BCE与直线A A 的交点 ( ) 证明:E FAD; B A平面BCE F ( ) 求B C与平面BCE F所成的角的正弦值 ( 第 题) ( 全国大纲文 )如图, 四棱锥SA B C D中,A B C D,B CC D, 侧面S A B为等边三角形,A BB C ,C DS D ( ) 证明:S D平面S A B; ( ) 求A B与平面S B C所成角的大小 ( 第 题) ( 北京文 )如图, 在四面体P A B C中,P CA B, P AB C,D、E、F、G分别是棱A P、A C、B C、P B的中点 ( ) 求证:D E平面B C P; ( ) 求证: 四边形D E F G为矩形; ( ) 是否存在点Q, 到四面体P A B C六条棱的中点的距离相 等? 说明理由 ( 第 题) ( 湖北文 )如图, 已知正三棱柱A B CABC 的底面边长为, 侧棱长为 , 点E在侧棱A A上, 点F在侧 棱B B上, 且A E ,B F ( ) 求证:C FCE; ( ) 求二面角E C F C的大小 最新年高考试题分类解析数学 战争背后的数学奥秘( 三) 丘吉尔理智撤回援法战机 二战时期, 当德国对法国等几个国家发动攻势时, 英国首相丘吉尔应法国的请求, 动用了十几个航空中队的飞机与德 国作战, 这些中队必须由欧洲大陆上的机场来维修和操作, 空战中飞机损失惨重与此同时, 法国总理要求继续增派十个 中队的飞机, 丘吉尔决定同意这一要求 ( 第 题) ( 浙江文 )如图, 在三棱锥PA B C中,A B A C,D为B C的中点,P O平面A B C, 垂足O落在线段AD上 ( ) 证明:A PB C; ( ) 已知B C,P O,A O,O D, 求二面角B A P C 的大小 ( 第 题) ( 天津文 )如图, 在四棱锥PA B C D中, 底面 A B C D为平行四边形,AD C ,ADA C,O为A C的中 点,P O平面A B C D, P O,M为P D的中点 ( ) 证明:P B平面A CM; ( ) 证明:AD平面P A C; ( ) 求直线AM与平面A B C D所成角的正切值 ( 第 题) ( 湖南文 )如图, 在圆锥P O中, 已知P O , O的直径A B, 点C在A B 上, 且C A B ,D为A C的 中点 ( ) 证明:A C平面P O D; ( ) 求直线O C和平面P A C所成角的正弦值 ( 第 题) ( 四川 文 )如图, 在 直三 棱柱A B CABC 中,B A C , A BA CA A, 延长AC至点P, 使CP AC, 连结A P交棱C C于点D ( ) 求证:P B平面B DA; ( ) 求二面角A AD B的平面角的余弦值 ( 第 题) ( 上海文 )已知A B C DABCD是底面边 长为的正四棱柱, 高A A, 求: ( ) 异面直线B D与A B所成角的大小; ( 结果用反三角函 数值表示) ( ) 四面体A BDC的体积 ( 第 题) ( 全国文 )如图, 四棱锥SA B C D中,S D 底面A B C D,A BD C,ADD C,A BAD,D CS D,E 为棱S B上的一点, 平面E D C平面S B C ( ) 证明:S EE B; ( ) 求二面角A D E C的大小 ( 第 题) ( 天津文 )如图, 在五面体A B C D E F中, 四边形 A D E F是正方形,F A平面A B C D,B CA D,C D,A D , B ADC D A ( ) 求异面直线C E与A F所成角的余弦值; ( ) 证明:C D平面A B F; ( ) 求二面角B E F A的正切值 ( 第 题) 第十六章 空间角与距离 战争背后的数学奥秘( 四) 内阁知道此事后, 找来数学家进行分析预测, 并根据出动飞机与战损飞机的统计数据建立了 回归预测模型经过研究发现, 如果补充率、 损失率不变, 飞机数量的下降是非常快的就是以现在的损失率损失两周, 英 国在法国的“ 飓风” 战斗机便一架也不存在了, 数学家要求内阁否定这一决定, 最后丘吉尔让步了, 并将其余飞机全部撤回 英国, 为下一步的国土保卫战保存了实力 ( 湖北文 )如图, 在四面体A B O C中,O CO A, O CO B,A O B , 且O AO BO C ( ) 设P为A C的中点,Q在A B上且A BA Q, 证明:P Q O A; ( ) 求二面角O A C B的平面角的余弦值 ( 第 题) ( 湖 南 文 )如 图 所 示, 在 长 方 体A B C D ABCD中,A BA D ,A A ,M是棱C C的中点 ( ) 求异面直线AM和CD所成的角的正切值; ( ) 证明: 平面A BM平面ABM ( 第 题) ( 四川文 )如图, 在正方体A B C DA B C D 中, 点M是棱A A 的中点, 点O是对角线B D 的中点 ( ) 求证:OM为异面直线A A 和B D 的公垂线; ( ) 求二面角M B C B 的大小 ( 第 题) ( 重庆 文 )如图, 四 棱锥PA B C D中, 底 面 A B C D为矩形,P A底面A B C D,P AA B , 点E是棱P B 的中点 ( ) 证明:A E平面P B C; ( ) 若AD, 求二面角B E C D的平面角的余弦值 ( 第 题) ( 浙江文 )如图, 在平行四边形A B C D中,A B B C,A B C ,E为线段A B的中点, 将A D E沿直线D E翻折 成A D E, 使平面A D E平面B C D,F为线段A C的中点 ( ) 求证:B F平面A D E; ( ) 设M为线段D E的中点, 求直线FM与平面A D E所成 角的余弦值 ( 第 题) ( 江西文 )如图,B C D与M C D都是边长为 的正三角形, 平面M C D平面B C D,A B平面B C D,A B ( ) 求直线AM与平面B C D所成角的大小; ( ) 求平面A CM与平面B C D所成二面角的正弦值 ( 第 题) ( 广东文 )如图,A E C 是半径为a 的半圆,A C 为直径, 点E为A C 的中点, 点B和点C 为线段AD的三等分点, 平面A E C外一点F满足F C平面B E D,F B a ( ) 证明:E BF D; ( ) 求点B到平面F E D的距离 ( 第 题) 最新年高考试题分类解析数学 中国古代数学的特点( 一) 以算法为中心, 属于应用数学 中国古代数学不脱离社会生活与生产的实际, 以解决实际问题为目标, 数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而 展开的如西汉末年( 公元前世纪) 编纂的 周髀算经 , 尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作, 但却包含了许多数学内 容, 在数学方面主要有两项成就: () 提出勾股定理的特例及普遍形式; ( ) 测太阳高、 远的陈子测日汉, 为后来重差术( 勾 股测量法) 的先驱此外, 还有较复杂的开方问题和分数运算等 A 【 精析】 连结A B、B P、P A, 过点A作A EB O于点 E, 连 结E P, 则A EE O R,P E R R R R c o s R R , 所 以 A P P EA E R R R R R , 所 以 c o s A O P R R R R R , 所 以A、P两 点 的 球 面 距 离 为 Ra r c c o s 故选A C 【 精析】 如图, 在内过点C作CMB D, 连结BM, 则 CMB D是矩形,A CM是二面角的平面角, 所以A CM 所以A B AMMBA CB DC D, 即C D 所 以C D 故选C ( 第题) A 【 精析】 设球心O与顶点S在底面A B C D上的射影 分别为O、E, 连结O A、O B、O C、O D、O S, 则有O AO BO C O DO S,O是正方形A B C D的中心,O OS E, 且O O O A O A ,S E 在 直 角 梯 形 O OE S中, 过点O作O FS E于点F, 则四边形O OE F是矩 形,O FO O ,S FS EE F 在R t S O F 中,O FO SS F ,即OE 在 R t S OE中,S OOE S E () 故选A C 【 精析】 连结AC交A C于点M, 设N为B C中点, 则M为AC中点, MN A B 由条件知ABACB C且B A C , MANA A B, 即MNMANA NMA 即为所求故选C D 【 精析】 连结D B、D B, 则由于D B平面A C D, 则 D DB与所求线面所成角相等, 而c o s BD B 故选D D 【 精析】 如图, 取B C中点D, 连结AD、S D, 过点A作 A ES D于点E, 则易证A E平面S B C, 所以A B E即为A B 与平 面S B C所 成 的 角因 为A S E , 所 以A E , 从而s i n A B EA E A B 故选D ( 第题) ( 第题) D 【 精析】 连结BD, 在BD上所有的点满足条件 D 【 精析】 设两互相垂直的异面直线为a,b, 取它们公垂 线段的中点, 过这点作一平面垂直于公垂线, 则此平面上任意一 点到直线a,b的距离都相等故选D 【 精析】 首先根据已知条件, 连结 D F, 则D F D即 为异面直线所成的角, 设边长为, 则可以求解得到D F DF,DD结合余弦定理得到结论 【 精析】 因为E F平面A BC,E F平面A B C D, 且平面A BC平面A B C DA C, 所以E FA C又E是DA的 中点,F是D C的中点, 所以E F A C 因为A B, 所以A C , 所以E F 故填 【 精析】 设球心为O , 半径为r, 圆锥底面圆的圆心为 O, 半径 为r, 则 有 r r , 即r r , 所 以OO r r r 所以两个圆锥的高的比为 rr rr , 故填 【 精析】 如图, 过点A 作A C于点C, 过点C作C D l于点D, 连结A D, 则A Dl,A D C ,A B C即为A B与平面 所成的角设A B , 则A D ,A C , 所以s i n A B CA C A B 故填 ( 第 题) ()因为CBAD,CB平面A D DA, 所以CB平面A D DA 又因为平面BCE F平面ADD AE F, 第十六章 空间角与距离 中国古代数学的特点( 二) 具有较强的社会性 在中国传统的数学文化中, 数学被儒家学派作为培养人的道德与技能的基本知识 六艺( 礼、 乐、 射、 御、 书、 数) 之 一, 它的作用在于“ 通神明、 顺性命, 经世务、 类万物” , 所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印, 往 往与术数交织在一起同时, 数学教育与研究往往被封建政府所控制, 如唐宋时代的数学教育与科举制度、 历代数学家往 往是政府的天文官员, 这些事例充分反映了这一性质 所以CBE F, 所以ADE F 因为B B平面ABCD, 所以B BBC 又因为BCBA, 所以BC平面A B BA 所以BCB A 在矩形A B BA中,F是A A的中点, t a n ABF t a n A AB , 即ABFA AB 故B ABF, 所以B A平面BCE F ( 第 题) ( ) 设B A与BF交点为H, 连结CH 由( ) 知B A平面BCE F, 所以B CH是B C与 平面 BCE F所成的角 在矩形A ABB中,A B ,A A , 得 BH , 在R t BH C 中, B C ,BH , 得 s i n B CHBH B C 所以B C与平面BCE F所成角的正弦值是 解法一: () 取A B中点E, 连结D E, 则四边形B C D E为矩 形,D EC B ( 第 题() ) 连结S E, 则S EA B,S E 又S D , 故E D S ES D, 所以D S E为直角 由A BD E,A BS E,D ES EE, 得A B平面S D E, 所以 A BS DS D与两条相交直线A B、S E都垂直 所以S D平面S A B ( ) 由A B平面S D E知, 平面A B C D平面S D E 作S FD E, 垂足为F, 则S F平面A B C D,S FS D S E D E 作F GB C, 垂足为G, 则F GD C 连结S G, 则S GB C 又B CF G,S GF GG, 故B C平面S F G, 平面S B C平面S F G 作FHS G,H为垂足, 则FH平面S B C FHS FF G S G , 即点F到平面S B C的距离为 由于E DB C, 所以E D平面S B C,E到平面S B C的距离 d也为 设A B与平面S B C所成的角为, 则s i n d E B , a r c s i n 解法二: 以C为坐标原点, 射线C D为x轴正半轴, 建立如 图所示的空间直角坐标系Cx y z 设D(,) , 则A(,) ,B(,) 又设S(x, y,z) , 则x,y,z ( )A S ( x ,y ,z) ,B S ( x,y ,z) ,D S ( x ,y,z) , ( 第 题() ) 由|A S | |B S |, 得(x ) ( y ) z x ( y ) z , 故x 由|D S |, 得y z , 又由|B S |, 得x ( y) z , 即y z y, 故y , z 于是S , , , A S , , , B S , , , D S , , , D S A S, D S B S 故D SA S,D SB S, 又A SB SS, 所以S D平面S A B ( ) 设平面S B C的法向量a(m,n,p) , 则aB S , aC B , aB S , aC B 又B S , , , C B ( ,) , 故 m n p , n 取p, 得a( ,) 又A B ( ,) , c o sA B , a A B a |A B |a| 故A B与平面S B C所成的角为a r c s i n () 因为D、E分别为A P、A C的中点, 所以D EP C 又因为D E平面B C P, 所以D E平面B C P ( ) 因为D、E、F、G分别为A P、A C、B C、P B的中点, 所以D EP CF G,D GA BE F 所以四边形D E F G为平行四边形 最新年高考试题分类解析数学 中国古代数学的特点( 三) 寓理于算, 理论高度概括 由于中国传统数学注重解决实际问题, 再加上中国人的综合、 归纳思维, 所以中国传统数学不关心数学理论的形 式化, 但这并不意味着中国传统数学仅停留在经验层次而无理论建树其实, 中国古代数学的算法中蕴涵着建立这些 算法的理论基础, 中国古代数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、 形象直观的数学原理之上, 如代 数中的“ 率” 的理论、 平面几何中的“ 出入相补” 原理、 立体几何中的“ 阳马术” 等 又因为P CA B, 所以D ED G 所以四边形D E F G为矩形 ( ) 存在点Q满足条件, 理由如下: ( 第 题) 连结D F、E G, 设Q为E G的中点 由() 知, D FE GQ, 且Q DQ EQ FQ G E G 分别取P C、A B的中点M、N, 连结ME、EN、NG、MG、MN 与() 同理, 可证四边形 MENG为矩形, 其对角线交点为 E G的中点Q, 且QMQN E G, 所以Q为满足条件的点 解 法 一: () 由 已 知 可 得C C ,C ECF ( ) , E F A B( A EB F) , E FCE () , 于是有E F C E C F , C E C E C C , 所以CEE F,CEC E 又E FC EE, 所以CE平面C E F 又C F平面C E F, 故C FCE ( ) 在C E F中, 由() 可得E FC F ,C E , 于是有E F C FC E, 所以C FE F 又由( ) 知C FCE, 且E FCE, 所以C F平面CE F 又CF平面CE F, 故C FCF 于是E F C即为二面角E C F C的平面角 由( ) 知CE F是等腰直角三角形, 所以E F C , 即 所求二面角E C F C的大小为 解法二: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则由已知可得 A(,) ,B(,) ,C(,) ,D(, ) , E(, ) ,F(,) ( )CE ( , ) ,C F (, ,) , CE C F C FCE ( 第 题) ( )C E ( , ) , 设平面C E F的一个法向量为m ( x,y,z) , 由mC E , mC F , 得 mC E , mC F , 即 y z, xy z, 解得 y z, x 可取m(,) 设侧面B C的一个法向量为n, 由nB C , nC C , 及C B (, ) ,C C ( , ) , 可取n(,) 设二面角E C F C的大小为, 于是由为锐角可得c o s |mn| |m| |n| , 所以 即所求二面角E C F C的大小为 () 由A BA C,D是B C中点, 得ADB C 又P O平面A B C, 得P OB C 因为P OADO, 所以B C平面P AD, 故B CP A ( ) 如图, 在平面P A B内作BMP A于点M, 连结CM ( 第 题) 因为B CP A, 得P A平面BMC, 所以A PCM 故BMC为二面角B A P C的平面角 在R t AD B中,A B ADB D , 得A B 在R t P O D中,P DP O O D, 在R t PD B中,P B P DB D, 所以P B P OO DB D , 得P B 在R t P O A中,P AA O O P , 得P A 又c o s B P AP A P BA B P AP B , 从而s i n B P A 故BMP Bs i n B P A 同理CM 因为BMMC B C, 所以BMC , 即二面角B A P C的大小为 () 连结B D、MO 在平行四边形A B C D中, 因为O为A C的中点, 所以O为B D的中点 又M为PD的中点, 所以P BMO 因为P B平面A CM,MO平面A CM, 所以P B平面A CM 第十六章 空间角与距离 现代系统博弈理论( 一) 尽管对博弈问题的研究可以追溯到 世纪甚至更早但都是零星的、 片断的研究, 带有很大的偶然性, 很不 系统 世纪初, 塞梅鲁、 鲍罗和冯诺伊曼已经开始研究博弈的准确的数学表达冯诺依曼是生于匈牙利的天才数学家他不仅 创立了经济博弈论, 还发明了计算机 ( 第 题) ( ) 因为AD C , 且ADA C, 所以DA C , 即ADA C 又P O平面A B C D,AD平面A B C D, 所以P OAD而A CP OO, 所以AD平面P A C ( ) 取D O中点N, 连结MN、AN 因为M为PD的中点, 所以MNP O, 且MN P O 由P O平面A B C D, 得MN平面A B C D 所以MAN是直线AM与平面A B C D所成的角 在R t DA O中,AD,A O , 所以D O 从而AN D O 在R t ANM中,t a n MANMN AN , 即直线AM与平面A B C D所成角的正切值为 () 因为O AO C,D是A C的中点, 所以A CO D ( 第 题) 又P O底面O,A C底面O, 所以A CP O而O D、P O 是平面P O D内的两条相交直线, 所以A C平面P O D ( ) 由() 知A C平面P O D, 又A C平面P A C, 所以平面P O D平面P A C 在平面P O D中, 过点O作OHP D于点H, 则OH平面P A C 连结CH, 则CH是O C在平面P A C上的射影, 所以O CH是直线O C和平面P A C所成的角 在R t O D A中,O DO As i n 在R t P O D中,OH P OO D P OO D 在R t OHC中,s i n O CHOH O C 故直线O C和平面P A C所成角的正弦值为 解法一: ( 第 题() ) ( ) 连结A B与B A交于点O, 连结O D CD平面A A,ACCP, A DP D 又 A OBO, O DP B 又 O D面B D A,P B面B D A, P B平面B D A ( ) 过点A作A ED A于点E, 连结B E B AC A,B AA A, 且A AA CA, B A平面A ACC 由三垂线定理可知B ED A B E A为二面角A AD B的平面角 在R t ACD中,AD () , 又 SA AD A E, A E 在R t B A E中,B E , c o s B E AA E B E 故二面角A AD B的平面角的余弦值为 解法二: 如图( ) , 以A为原点,AB、AC、AA所在直线 分别为x轴, y轴,z轴建立空间直 角 坐标 系, 则A(,) , B(,) ,C(,) ,B(,) ,P(,) ( ) 在P A A中, 有CD A A , 即D, () AB ( ,) ,AD , , (), BP ( ,) ( 第 题() ) 设平面B AD的一个法向量为n(a,b,c) , 最新年高考试题分类解析数学 现代系统博弈理论( 二) 年, 冯诺依曼和摩根斯特恩的 博弈论与经济行为 一书中提出的标准型、 扩展型和合作型博弈模型 解的概念和分析方法, 标志着现代系统博弈理论的初步形成然而诺依曼的博弈论过于抽象, 使应用范围受到很大限制, 因此影响力 很有限 则 nAB ac, nAD b c 令c, 则n , , () nBP ( ) ( ), P B平面B AD ( ) 由() 知, 平面B AD的一个法向量n , , () 又 n (,) 为平面A AD的一个法向量, c o sn,n nn |n|n| 故二面角A AD B的平面角的余弦值为 () 如图, 连结B D、A B、BD、A D ( 第 题) B DBD,A BA D, 异面直线B D与A B所成角为A BD, 记A BD, c o sA B BD A D A BBD 异面直线B D与A B所成角为a r c c o s ()连 结 A C、C B、C D,则 所 求 四 面 体 的 体 积 VVA B C DABC DVCBCD 解法一: () 如图() , 连结B D, 取D C中点G, 连结B G, 则D GG CB G, ( 第 题() ) D B C是直角三角形 B CB D 又 S D平面A B C D, B CS D B C平面B D S,B CD E 过点B作BKE C于点K, 由平面E D C平面S B C, 得 BK平面E D C,BKD E D E与平面S B C内两条相交直线都垂直, D E平面S B C,D EE C,D ES B S BS D D B ,D ES DD B S B ,E B D B D E , S ES BE B S EE B ( ) S AS D A D , A B ,S E E B,A BS A, A E S A () A B () 又 AD, AD E为等腰三角形 取E D中点F, 连结A F, 则A FD E,A F A D D F 连结F G, 则F GE C,F GD E, A F G是二面角A D E C的平面角 连结A G, 则A G ,F G D G D F , c o s A F GA F F GA G A FF G , 故二面角A D E C的大小为 解法二: () 以点D为坐标原点, 射线D A、 D C、D S分别为 x,y,z轴正半轴, 建立如图() 所示的直角坐标系 ( 第 题() ) 设A(,) , 则B(,) ,C(,) ,S(,) 则S C ( ,) ,B C ( ,) 设平面S B C的法向量为n(a,b,c) , 则由 nS C , nB C , 得 nS C , nB C , bc, ab 令a, 则bc,n(,) 设S E E B ( ) , 则E , , (), D E , , (), D C ( ,) 设平面C D E的法向量为m(x, y,z) , 则由 mD E , mD C , 得 mD E , mD C , 即 x y z , y 令x, 得m(,) 平面D E C平面S B C, 第十六章 空间角与距离 布丰投针问题 布丰投针问题(B u f f o n sn e e d l ep r o b l e m) 是第一个用几何形式表达概率问题的例子这个问题是 世纪法国 数学家布丰和勒克莱尔提出的, 并记载于布丰 年出版的著作中 “ 在一平面上画有一组间距为d的平行线, 将一根长 度为L(Ld) 的针任意投掷到这个平面上, 求此针与任意平行线相交的概率”布丰证明了该针与任意平行线相交的概率为 P L d 利用这公式, 将这一试验重复进行多次, 并记下相交的次数, 便得到P的经验值, 即可算出圆周率的近似值 mn mn, 即, 故S EE B ( ) 由() 知E , , (), 取D E中点F, 则F , , (), F A , , (), F A D E, F AD E 又 E C , , (), E C D E E CD E 向量F A 与 E C 的夹角等于二面角A D E C 的平面角 c o sF A , E C F A E C |F A |E C | , 二面角A D E C的大小为 () 因为四边形AD E F是正方形, 所以F AE D 故C E D为异面直线C E与A F所成的角 因为F A平面A B C D, 所以F AC D故E DC D 在R t C D E中,C D,E D ,C E C D E D, 故c o s