广州高三“一模”数学及解答理科

秘密启用前2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理科） 20083本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再将答案填写在对应题号的横线上。漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高如果事件、互斥，那么如果事件、相互独立，那么如果事件在一次试验中发生的概率是，那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，则A B C D012341120103508789756432961甲乙图12某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员 的中位数分别为A19、13 B13、19C20、18 D18、203已知函数若，则A B C或 D1或4直线与圆的位置关系是 A相离 B相交 C相切 D不确定5在区间上任取两个数，方程的两根均为实数的概率为 A B C D6已知，则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7抽气机每次抽出容器内空气的，要使容器内剩下的空气少于原来的，则至少要抽（参考数据：，） A15次 B14次 C9次 D8次8在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是A B C D图2开始结束输入x是否输出x,k二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答9若复数是实数，则实数 10已知，则 11根据定积分的几何意义，计算 12按如图2所示的程序框图运算若输入，则输出 ；若输出，则输入的取值范围是 （注:“”也可写成“”或“”，均表示赋值语句）（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分13（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 14（不等式选讲选做题）若、，且，则的最小值是 15（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在边上，且，与交于点，若的面积为6，则的面积为 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） 已知函数的图象经过点和（1）求实数和的值；（2）当为何值时，取得最大值17（本小题满分12分） 某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数，其中 的各位数中，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当该计算机程序运行一次时，求随机变量的分布列和数学期望（即均值）图3图418（本小题满分14分） 如图3所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交、于点、，作，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图4所示的三棱柱（1）在三棱柱中，求证：平面；（2）求平面将三棱柱分成上、下两部分几何体的体积之比；（3）在三棱柱中，求直线与直线所成角的余弦值19（本小题满分14分）已知数列中，且（且）（1）若数列为等差数列，求实数的值；（2）求数列的前项和20（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）若，证明：21（本小题满分14分）已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足（1）求实数的取值范围；（2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号12345678答案CACBBADCBCAP8由，得，即，所以点是边上的第二个三等分点，如图所示故二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中第12题第一个空2分，第二个空3分93 10 11 124；13 14 1572三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分） （本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力）解：（1）函数的图象经过点和，即 解得 （2）由（1）得 当，即，即时，取得最大值2 17（本小题满分12分） （本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力等）解：的可能取值是2，3，4，5，6 ， ， ， ， 的分布列为23456 的数学期望为 18（本小题满分14分） （本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力）（1）证明：在正方形中，三棱柱的底面三角形的边，则 四边形为正方形，而，平面 （2）解：平面，为四棱锥的高四边形为直角梯形，且，梯形的面积为， 四棱锥的体积， 由（1）知，且，平面三棱柱为直棱柱，三棱柱的体积为 故平面将三棱柱分成上、下两部分的体积 之比为 （3）解：由（1）、（2）可知，两两互相垂直 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， 异面直线所成角的范围为，直线与所成角的余弦值为 19（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）方法1：， 设，由为等差数列，则有 解得 事实上， 综上可知，当时，数列为首项是、公差是1的等差数列 方法2：数列为等差数列， 设，由为等差数列，则有（） 综上可知，当时，数列为首项是、公差是1的等差数列 （2）由（1）知， 即令， 则 ，得 20（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）（1）解：，令，得当时，当时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增当时，有最小值1 （2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即 令（），则， 即 ， 21（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）解法1：（1）不妨设A，B，且， （），即，即的取值范围为 （2）当时，由（1）求得、的坐标分别为、 假设抛物线上存在点（且），使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线设经过、三点的圆的方程为， 则 整理得 函数的导数为，抛物线在点处的切线的斜率为，经过、三点的圆在点处的切线斜率为，直线的斜率存在圆心的坐标为， ，即 ，由、消去，得 即，故满足题设的点存在，其坐标为 解法2：（1）设，两点的