数理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章

数学物理方程第二版数学物理方程第二版答案答案 第一章第一章 波动方程波动方程 1 方程的导出。定解条件方程的导出。定解条件 1细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点 在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(txu满足 方程 ( ) = x u E xt u x t 其中为杆的密度，E为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与+xx。现在计算这段杆 在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为： ),();,(txxuxxtxux+ 其相对伸长等于 ),( ),(),( txxu x xtxuxtxxuxx x += + 令0x，取极限得在点x的相对伸长为 x u),(tx。由虎克定律，张力),(txT等于 ),()(),(txuxEtxT x = 其中)(xE是在点x的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(xS则作用在杆段),(xxx+两端的力分别为 x uxSxE)()( x uxxSxxEtx)()();,(+).,(txx+ 于是得运动方程 tt uxxsx )()( x ESutx=),( xxxx xESuxx| )(| )(+ + 利用微分中值定理，消去x，再令0x得 tt uxsx)()( x = x ESu() 若=)(xs常量，则得 2 2 )( t u x =)( x u xE x 即得所证。 2在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在lxx= , 0两点则相应的边界条件为 . 0 ),(, 0), 0(=tlutu (2)若lx =为自由端，则杆在lx =的张力 x u xEtlT =)(),(| lx= 等于零，因此相应 的边界条件为 x u | lx= =0 同理，若0=x为自由端，则相应的边界条件为 x u 0 0=x (3)若lx =端固定在弹性支承上， 而弹性支承固定于某点， 且该点离开原来位置的 偏移由函数)(tv给出，则在lx =端支承的伸长为)(),(tvtlu。由虎克定律有 x u E )(),(tvtluk lx = = 其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件 )(u x u + )(tf lx = = 其中 E k = 特别地，若支承固定于一定点上，则, 0)(=tv得边界条件 )(u x u + 0= =lx 。 同理，若0=x端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E )(), 0( 0 tvtuk x = = 即 )(u x u ).( 0 tf x = 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 2 22 )1 ()1( t u h x x u h x x E = 其中h为圆锥的高(如图 1) 证：如图，不妨设枢轴底面的半径为 1，则x 点处截面的半径l为： h x l=1 所以截面积 2 )1 ()( h x xs=。利用第 1 题，得 )1 ()1 ()( 2 2 2 2 x u h x E xt u h x x = 若ExE=)(为常量，则得 2 2 22 )1 ()1( t u h x x u h x x E = 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡 位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图 2，设弦长为l，弦的线密度为，则x点处的张力)(xT为 )()(xlgxT= 且)(xT的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上各点在时刻t沿垂直 于x轴方向的位移，取弦段),(xxx+则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为 )(sin)();(sin)(xxxxlgxxlg+ 其中)(x表示)(xT方向与x轴的夹角 又 . sin x u tg = 于是得运动方程 x u xxl t u x += )( 2 2 x u xlg xx + g x 利用微分中值定理，消去x，再令0x得 )( 2 2 x u xl x g t u = 。 5. 验证 222 1 ),( yxt tyxu =在锥 222 yxt0 中都满足波动方程 2 2 2 2 2 2 y u x u t u + = 证：函数 222 1 ),( yxt tyxu =在锥 222 yxt0 内对变量 tyx,有 二阶连续偏导数。且 tyxt t u = 2 3 222 )( 2 2 5 222 2 3 222 2 2 )(3)(tyxtyxt t u += )2()( 222 2 3 222 yxtyxt+= xyxt x u = 2 3 222 )( ()()xyxtyxt x u += ()() 222 2 5 222 2yxtyxt+= 同理 () () 222 2 5 222 2 2 2yxtyxt y u += 所以 ()().2 2 2 222 2 5 222 2 2 2 2 t u yxtyxt y u x u =+= + 即得所证。 6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为 b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足 的微分方程. 解: 利用第 1 题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()xxx+,上所受的摩阻力.由题设, 单位质量所受摩阻力为 t u b ,故()xxx+,上所受摩阻力为 ( ) ( ) t u xxsxpb 运动方程为: ( ) ( )( ) ( ) t u xxsxbx x u ES t u ES t u xxsx xx = + 2 2 利用微分中值定理，消去x,再令0x得 ( ) ( )( ) ( ). 2 2 t u xsxb x u ES xt u xsx = 若=)(xs常数，则得 ( )( ) t u xb x u E xt u x = 2 2 若 ( )( )则得方程令也是常量是常量,., 2 E aExEx= . 2 2 2 2 2 x u a t u b t u = + 2 达朗贝尔公式、达朗贝尔公式、 波的传抪波的传抪 1. 证明方程 ()常数01 1 1 2 2 2 2 2 h t u h x ax u h x x = 的通解可以写成 ()() xh atxGatxF u + = 其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题: ( )( ).,:0 x t u xut= = 解：令()vuxh=则 ()()() += += x v uxh x u xh x v u x u xh 2 , )()()()()( 2 2 22 x v uxh x u xh x u xh x v u x u xh x += + + += 又 () 2 2 2 2 t v t u xh = 代入原方程，得 ()() 2 2 22 2 1 t v xh ax v xh = 即 2 2 22 2 1 t v ax v = 由波动方程通解表达式得 ()()()atxGatxFtxv+=, 所以 ()() ()xh atxGatxF u + = 为原方程的通解。 由初始条件得 ( )( )( ) 1 ( 1 xGxF xh x+ = ( )( )( )xaGxaF xh x / 1 + = 所以 ( )( )() ( )2( 1 0 cdh a xGxF x x += 由)2(),1 (两式解出 ( )() ( )() ( ) 22 1 2 1c dh a xxhxF x xo += ( )() ( )() ( ) 22 1 2 1c dh a xxhxG x xo += 所以 )()()()( )(2 1 ),(atxatxhatxatxh xh txu+ = + + atx atx h xha ()( )(2 1 .)d 即为初值问题的解散。 问初始条件)(x与)(x满足怎样的条件时， 齐次波动方程初值问题的解仅由右传 播波组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F，G 由初始条件)(x与)(x决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何tx,有 G(x+at)常数. 即对任何 x, G(x)C 0 又 G（x）= + x x a C d a x 02 )( 2 1 )( 2 1 所以)(),(xx应满足 +)(x = x x Cd a 0 1 )( 1 （常数） 或 (x)+)( 1 x a =0 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） = = = =+ = ).( )( 0 0 2 2 2 2 2 xu xu x u a t u atx atx ()0()0(= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x=F（0）+G（2x） 令 x+at=0 得 )(x=F（2x）+G(0) 所以 F(x)=) 2 ( x -G(0). G（x）=) 2 ( x -F(0). 且 F（0）+G(0)=).0()0(= 所以 u(x,t)=() 2 atx + +) 2 ( atx -).0( 即为古尔沙问题的解。 4对非齐次波动方程的初值问题 += = +0,有 x+atx2,则区间x-at,x+at 整个落在区间 2, 1x x之外， 由解的表达式知u(x,t)不发生变化， 即对t0,当xx2+at, 也就是（x,t）落在区间 21,x x的影响域 )0( 2 +tatxxatxt 之外，解 u(x,t)不发生变化。 （1）得证。 (2). 区间 21,x x的决定区域为 atxxatxt+ 21 , 0 在其中任给（x,t）,则 21 xatxatxx+ 故区间x-at,x+at完全落在区间 21,x x中。因此 21,x x上所给的初绐 条件)(),(xx代入达朗贝尔公式唯一地确定出 u(x,t)的数值。 5. 若电报方程 ()GRuuLGCRCLuu tttxx += ()为常数GRLC,具体形如 ()( ) ()atxfttxu=, 的解（称为阻碍尼波） ，问此时GRLC,之间应成立什么关系？ 解解 ()( ) ()atxfttxu=, ( )()atxftuxx = ( ) ()( ) ()atxftaatxftut= ( ) ()( ) ()( )()atxftaatxftaatxftutt + = 2 2 代入方程，得 ()( )()( )() ( )() () ( ) () ( )( )()( ) ()0 21 2 =+ + + atxftGRtGRtLGCRtCL atxftLGCRataCLatxftCLa 由于f是任意函数，故fff , ,的系数必需恒为零。即 ( ) () ( ) ( ) () ( )( ) =+ =+ = 0 02 01 2 tGRtLGCRtCL tLGCRtCL CLa 于是得 2 1 a CL = ( ) ( ) ()LGCR a tu tu += 2 2 所以 ( ) ()tLGCR a ectu + = 2 0 2 代入以上方程组中最后一个方程，得 ()()0 24 2 2 2 4 +GRLGCR a LGCR a CL 又 ()GRCLLGCR CL a=+= 2 2 4 1 , 1 得 即 ()0 2 = LGCR 最后得到 R G L C = 6利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题 ( )( )() ()() = = = = 00, 0 00, 00 2 ttu xxuxu uau ttt xxtt 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出： ()()()()( ) + += atx atx d a atxatxtxu 2 1 2 1 ,。 由题意知( )( )xx,仅在 x0上给出，为利用达朗贝尔解，必须将( )( )xx,开 拓到0x上，为此利用边值条件，得 ( )( )()( ) += at at datat 2 1 0。 因此对任何t必须有 ( )()atat= ( )0= at at d 即( )( )xx,必须接奇函数开拓到0+ + = + + 0, 2 1 2 1 0, 2 1 2 1 x a x td a xatatx x a x td a atxatx atx xat atx atx 。 7求方程 + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 形如()trfu,=的解（称为球面波）其中 222 zyxr+=。 解： ()trfu,= x r r u x r r u x u = = + = 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r x rr u r x r u x u + = 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r y rr u r y r u y u ) 1 ( 3 2 2 2 2 2 2 2 r z rr u r z r u z u + = 代入原方程，得 ) 3 ( 3 222 2 2 2 2 2 r zyx rr u r u a t u+ + = 即 ) 2 ( 2 2 2 2 2 r u rr u a t u + = 令 vru =，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2, r v r u r u r r v u r u r t v t u r = + =+ = ， 代入方程，得 v 满足 2 2 2 2 2 r v a t v = 故得通解 )()(),(atrGatrFtrv+= 所以 )()( 1 atrGatrF r u+= 8求解波动方程的初值问题 = = = = = x t u u xt x u t u t t sin|, 0 sin 0 0 2 2 2 2 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 dddtxu ttx tx tx tx + + += 0 )( )( sin 2 1 sin 2 1 ),( = + t dtxtxtxtx 0 )(cos()(cos( 2 1 )cos()cos( 2 1 = + t dtxtx 0 )sin(sinsinsin = t ttxtx 0 )sin()cos(sinsinsin+ =xtsin 即 xttxusin),(= 为所求的解。 9求解波动方程的初值问题。 + = + += = 2 00 22 2 1 1 |, 0| )1 ( x uu x tx uau ttt xxtt 解： + + + + + = ttax tax atx atx ddd a txu 0 )( )( 222 )1 (1 1 2 1 ),( + += + atx atx atxarctgatxarctgd)()( 1 1 2 + + + = + t tax tax ttax tax ddd 0 )( )( 2 0 )( )( 22 )1 (2 1 )1 ( = + + t d taxtax 0 22 )(1)(1 2 1 = + + + + + x atx x atx du ua uatx du ua uatx )1 (2 1 )1 (2 1 2222 + + + + + + + atx atx x atx x atx u du a t u du za t du u ux a 2222 12112 1 atx atx a atxarctgatxarctg a x + + + atxarctgatxarctgarctgx a t + atxarctgatx a atxarctgatx a + atx atx a arctgx a t + + + 所以 )(1 )(1 ln 2 1 2)( )2()()2( 4 1 ),( 2 2 22 3 atx atx atarctgxatxarctg aatxatxarctgaatx a txu + + + += 3 混合问题的分离变量法混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) = = = = = 0),(), 0( )0()1 (, 3 sin 0 2 2 2 2 2 tlutu lxxx t u l x u x u a t u ott 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 )()(),(tTxXtxu= 得固有函数x l n xXn sin)(=，且 t l an Bt l an AtT nnn sincos)(+=，)2 , 1(=n 于是 = += 1 sin)sincos(),( n nn x l n t l an Bt l an Atxu 今由始值确定常数 n A及 n B，由始值得 = = 1 sin 3 sin n n x l n A l x = = 1 sin)( n n x l n B l an xlx 所以 , 1 3 =A, 0= n A当3n = l n xdx l n xlx an B 0 sin)( 2 + +=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an cossincos 2 2 22 2 ) ) 1(1 ( 4 cos 2 sin 2 44 3 0 33 3 22 2 n l an l x l n n l x l n n xl = 因此所求解为 = += 1 44 3 sinsin ) 1(143 sin 3 cos),( n n x l n t l an na l x l t l a txu (2) = = = = = 0) 0 , (,) 0 , ( 0),(0), 0( 0 2 2 2 2 2 x t u x l h xu tl t u tu x u a t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(tTxXtxu= 得： = =+ 0)(, 0)0( 0 lXX XX (1) 及 )2(0 2 =+ XaT。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 1 0 = + = = 0|,| 0| )0(2 00 0 2 2 2 2 2 tt lxx t u x l h u uu b x u a t u b t u 解：方程和边界条件都是齐次的。令 )()(),(tTxXtxu= 代入方程及边界条件，得 = + X X Ta bTT 2 2 0)()0(=lXX 由此得边值问题 = =+ 0)()0( 0 lXX XX 因此得固有值 2 = l n n ，相应的固有函数为 , 2 , 1,sin)(=nx l n xXn 又)(tT满足方程 02 2 =+TabTT 将 n =代入，相应的)(tT记作)(tTn，得)(tTn满足 02 2 = +T l an bTT n n 一般言之，b很小，即阻尼很小，故通常有 , 2 , 1, 2 2 = n l an b 故得通解 )sincos()(tBtAetT nnnn bt n += 其中 2 2 b l an n = 所以 x l n tBtAetxu nnn n n bt sin)sincos(),( 1 += = 再由始值，得 += = = = x l n BbA x l n Ax l h nn n n n n sin)(0 sin 1 1 所以 1 0 2 ) 1( 2 sin 2 + = n l n n h xdx l n x l h A 1 ) 1( 2 + = n n n n n n bh A b B 所求解为 .sin)sin(cos ) 1(2 ),( 1 1 x l n t b t n e h txu n n n n n bt + = = + 4 高维波动方程的柯西问题高维波动方程的柯西问题 1 利用泊松公式求解波动方程 )( 2 zzyyxxtt uuuau+= 的柯西问题 = += = = 0 0 23 0 tt t u zyxu 解：泊松公式 ds ra ds rat u Sat M Sat M + = 4 1 4 1 现 zyx 23 , 0+= 且 = = 0 2 0 |sin),( atr s ddrrds r M at 其中 )cos,sinsin,cossin(),(rzryrxr+= )cos()sinsin()cossin( 23 rzyrx+= 332222223 cossincossin3cossin3rxrrxzyx+= cossinsinsinsin2 222 ryrzyzr+ cossinsinsincossin2 232 ryr+ 计算 0 2 0 sin),(ddrr )(4 )cos(2)(sin)( 23 0 2 0 0 2323 zyxr zyxrddrzyx += +=+ = 0 2 00 2 0 2222 0cossin3sincossin3ddrxddrrx = 0 2 00 2 0 233222 cossin3sincossin3ddxrddrxr 2 00 33 2sin 4 1 2 coscos 3 1 3+= xr ddrrxrsincossin4 33 0 2 0 3 = 33 2 0 4 0 4 4cossinxrddr = = 0 2 0 22 0 2 0 0sinsin2sinsinsin2ddyzrddryzr zrzr ddrzddrzr 32 00 33 2 0 2 0 3 0 2 0 222 3 4 2sin 4 1 2 coscos 3 1 sinsinsinsinsin = = = 0 2 0 22 0 2 0 2 0sincossincosddryddrry = 2 00 23 0 2 0 2 0sincossin2 sinsinsin2 ddyr ddrcocyr = 0 2 0 234 0 2 0 223 0sincossin sincossinsin ddr ddrr 所以 3 1 4 3 4 4)(4 222222 3322 ztatxazyxat zrrzyxrds r Sat M atr += += = u(x,y,z)= Sat M rat4 1 ztaxtazyx ztatxaztytx t 222223 223223 3 3 1 += + = 即为所求的解。 2 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题 = += = ),(),( )( 00 2 zyxuzyxu uuuau ttt zzyyxxtt 当 u 不依赖于 x,y,即 u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题： = = = )(),( 00 2 zuzu uau ttt zztt 利用泊松公式求解 + = Sat M Sat M ds ra ds rat u 4 1 4 1 因只与 z 有关，故 + = Sat M ddat at atz ds r 2 0 0 2 sin)( )cos( datatzdsin)cos( 2 00 += 令= atcos+z, d= datsin - 得 + = Sat M atz atz dds r )(2 所以 + + + = atz atz atz atz d a d at tzu)( 2 1 )( 2 1 ),( + += atz atz d a atzatz)( 2 1 )()( 2 1 即为达郎贝尔公式。 3. 求解平面波动方程的柯西问题： () () =+= += = 0| 0 2 0 2 ttt yyxxtt uyxxu uuau 解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得： () () ()() = m at dd yxta ta tyxu 22 22 , 2 1 , () ()() + m at dd yxta 22 22 , () + = 2 0 222 0 sin,cos 2 1 rdrd rta ryrx ta at 又 ()() ()sincoscossin,cos 2 rryxrxryrx+=+ ()()() 222 coscos2ryxryxxyxx+= ()()cossincos2sincos 22 +xrrx ()sincoscos2 3 + r 因为 = 2 0 2 2 0 2 0 cos, 0sin, 0cosddd . 0sincos, 0cos, 0cossin 2 0 2 2 0 3 2 0 = ddd 所以 () + at rdrd rta ryrx 0 2 0 222 sin,cos ()() + += atat rta drr yx rta rdr yxx 00 222 3 222 2 32 又 = at at at