线性代数5-1-2ppt课件

Ch5特征值问题与二次型,第一节二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；而,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设有可逆线性变换,四、化二次型为标准形的正交变换法,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,说明：,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例4,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,说明：,思考题1,思考题1解答,五、化标准形的拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变,问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法,1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,解,例7,所用的可逆变换矩阵为,例7,解,例8,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用的可逆变换矩阵为,思考题2,思考题2解答,四、用初等变换法,化二次型为标准形,任一二次型f(x1,x2,xn),=XTAX(其中AT=A)，一定存在可逆线性替换X=,CY将其化为标准形.,即存在可逆矩阵C，使CTAC,为对角矩阵.,在第一章，我们知道：可逆矩阵可写,成若干个初等矩阵的乘积.,所以，存在初等矩阵,P1,P2,Ps,有,C=P1P2Ps,对于任一初等矩阵Pi(1is)，PiT仍为同种,初等矩阵.,所以,CTAC=PsTP2TP1TAP1P2Ps,为对角矩阵.,上式说明：对于实对称矩阵A相继施,以初等列变换，同时施以同种的初等行变换，矩阵,A就合同于一个对角矩阵.,由此得到将二次型标准,化的初等变换法：,首先构造2nn矩阵,对A每施以一次行,初等变换，就对,施行一次同种的初等列变换.,当,矩阵A化为对角矩阵时，矩阵E将化为可逆矩阵C.,即,对A施以一系列行初等变换,由此可得可逆矩阵C=P1P2Ps和对应的可逆线性,替换X=CY，在此变换下，二次型XTAX化为标准,五、二次型的规范形,对于二次型,在本节,例3中所得到的标准形为,而,在例5中所到的标准形为,即一个,二次型的标准形不唯一，这与所作的可逆线性替换,有关.,但是，同一个二次型化为标准形后，标准形,中所含的正、负平方项的个数却是相同的.,为了深,入地讨论这一问题，需引入二次型的规范形的概念.,如果二次型f(x1,x2,xn)=XTAX(其中AT=,A)通过可逆线性替换可以化为,y12+yp2y2p+1yr2(prn),(5.12),则(5.12)称为该二次型的规范形.,定理5.4(惯性定理)任一二次型f(x1,x2,xn)都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规,范形是唯一的.,例如，本节例5中，二次型,的标准形为,作可逆线性替换,即,则二次型化为规范形,记,则所作的可逆线性替换为,即,在例3中，我们曾用配方法将同一二次型,化为标准形.,不难验证，作适当的可逆线性替换，,该标准形也可化为规范形(5.13).,这表明，一个二,次型的规范形与所作的可逆线性替换无关.,利用矩阵的语言，定理5.4可以叙述为,推论1任意实对称矩阵A合同于对角矩阵,在二次型的规范形,y12+yp2y2p+1yr2(prn),中，正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数；,负平方项的个数rp称为二次型的负惯性指数；,它们的差，即p(rp)=2pr称为二次型的符号,差.,正惯性指数与负惯指数的和为r，恰等于二次型,的秩，即二次型矩阵A的秩.,由此可得,推论2两个实对称矩阵合同的充分必要条件,是它们具有相同的正惯指数和秩.,六、小结,1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法,2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换拉格朗日配方法,3.将二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，