谈图形与几何的教学（二1） [自动保存的] [自动保存的]

,“图形与几何”的教学（二）“方向与位置”教学内容的整体分析熊口小学何雄燕,熊口&老新小数工作坊同备一节课同上一节课,一、课标对“图形与位置”的教学要求二、教材对“方向与位置”的编排三、关于“方向与位置”内容的几个问题四、具体内容简析,一、课标对“图形与位置”的教学要求,方向与位置,比例尺,二、教材对“方向与位置”内容的安排,关于“方向与位置”教学内容几个问题：一、数学中为什么要学习方向与位置？二、教材在小学阶段为什么只安排四个内容？这四个内容有怎样的逻辑关系？三、方向与位置到底要教给学生什么？,一、方向与位置建立了二维空间的几何模型。关于“数学中为什么学习方向？”的一段对话。方向给空间以结构，以某一物体为参照，把二维空间分成了四个部分；用数学的方法确定位置则让平面中的每一个物体都有唯一的信息与之对应。可以这样说，方向与位置建立起了二维空间的几何模型。便于人们准确找到平面中物体的位置，进行交流与应用，进而深入地研究其变化规律。,数学中为什么要学习方向与位置？,二、方向与位置渗透了数学的思想方法。模型思想：结构化、分类，寻找表示空间位置的一般方法。符号思想：将物体的位置关系用简洁的数字符号表示，便于比较和计算。,数学中为什么要学习方向与位置？,总的说来，数学中学习方向与位置就是为了度量物体的位置，研究物体位置之间的关系。（史宁中，数学思想概论自然界中的模型）,数学中为什么要学习方向与位置？,一、四个内容的本质是什么？1、上下、前后、左右是对一维空间物体位置关系的描述。一维空间模型是一条线，线无曲直之分，关注的是这条线上两点间的距离。如果规定了原点（参照点）、单位和方向，物体的位置关系则有了上下、前后、左右之别。三个方向：a在o的前面，b在o的后面垂直方向：a在o的上面，b在o的下面水平方向：a在o的左边，b在o的右边,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,一、四个内容的本质是什么？2、东、南、西、北的本质是建立平面直角坐标系；东南、东北、西南、西北则是描述平面直角坐标系中点的位置关系。东、南、西、北以o为参照把平面空间分为了四部分，四个方向成了四个部分的分界线，本质是建立平面直角坐标系。物体在平面内所处的位置关系则由四个分界和所辖区域来描述，东、南之间称为东南；东、北之间称为东北；西、南之间称为西南；西、北之间成为西北。,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,一、四个内容的本质是什么？3、确定位置的本质是确定平面上点的位置。用方向和距离确定位置，需要选定参照点，确定一个方向，用角度确定平面上点方向，用距离表示与参照点的远近，本质是用极坐标表示点的位置。描述路线图就是用极坐标表示物体的位置。,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,一、四个内容的本质是什么？用数对确定位置，需要选定一个参照点，用一个数表示与参照点水平方向的距离，用另一个数表示与参照点垂直方向的距离来确定平面上点的位置，本质是在平面直角坐标系内表示点的位置(小学阶段只研究平面直角坐标系的第一象限点的位置关系）。经纬法确定位置的本质也是直角坐标系。,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,一、四个内容的本质是什么？用方向和距离确定平面上点的位置和用数对确定平面上点的位置虽然方法不同，体现了确定位置方法的多样性，但是它们却有着共同点：1、都要事先选定参照系（原点）。2、都要用两个数表示确定的位置。用方向和距离确定位置：角度和距离；用数对表示位置：水平与原点的距离数和垂直与原点的距离数。（距离的确定需要用到单位长度，即，多长表示1。）,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,二、四个内容有着怎样的逻辑关系？,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,上下、前后、左右,方向+高度,东、南、西、北东南、西南、东北、西北,三维+时间+,三维直角坐标系,二维直角坐标系,数轴,位置和高度,数对、方向和距离、经纬法,距离、方向,（x,y,z),(x,y)、(，）东经n0，北纬m0,X1、x2,维度,空间结构,几何模型,确定位置的方法,位置的表示方法,研究方法,1,2,3,n,二、四个内容有着怎样的逻辑关系？上下、前后、左右表示了一维空间点的关系；四面八方建立了二维直角坐标系，方向和距离确定位置和数对确定位置，则是用数学的方法确定平面上点的位置关系，实现了点的位置关系的多样化表征，数对（x,y)和极坐标(，）则是对位置的数学表达。四个内容完整地建立了空间的几何模型，能够多角度、准确地描述平面中点的位置。实现了从一维空间向二维空间的跨越，发展了学生的空间观念。在研究空间模型的方法上，高维模型建立的方法则是以低维模型建立的方法为基础进行的，低维模型的位置关系在高维模型中同样适用。,教材为什么只安排四个内容？它们有怎样的逻辑关系？,一、在具体情境中体会平面中方向与位置的确定需要参照物，初步体会位置的相对性。二、用数学的方法确定平面上的位置需要两个数。会用这两个数描述物体的位置。三、感受生活中确定位置的必要性，体会确定位置方法的发展过程，为学生将来直观理解直角坐标系奠定基础，发展空间观念。四、初步感知数学思想方法在确定位置中所起的作用。,方向与位置到底要教给学生什么？,三、具体内容简析,呈现了动物在跑道上赛跑的情境。前后是一维的空间位置关系，在确定方向的情况下，关注的只是与参照点的距离。因此，这一环节除了描述前后顺序外，关键要体会前后的相对性，即，确定前后需要参照物。备课中需要思考：怎样体现先后的相对性？,跑第几？是用序数表示动物们的前后位置关系，是数学学习必须学生体验的，教师需要把第几和前后位置对应起来。,在教学生描述相对位置的同时，思考：如何体现上下相对性的问题？,位置关系的描述，需要推理，这是发展空间观念的必要条件。,通过位置关系的操作，帮助学生进一步理解物体的相对位置关系。,左右是三个位置关系中最不好理解的，因此，教材从操作开始入课。,在操作中体会理解左右的概念；尝试用序数描述表示左右关系。,在操作中体会理解左右的概念；尝试用上下、左右描述路线，体会其相对性。,在操作中，理解确定位置需要参照物。,通过不同记录方法，感受统一方位记录方法的必要性，在总结不同方法的相同点中进一步认识，确定位置需要参照物。,利用参照物辨别方向，体会统一方向的好处。,在操作中进一步辨认方向，体会到物体的位置与大小无关，抽象出方向板，初步建立直角坐标系。,体会描述线路，需要用到方向和距离。,体会物体的位置与物体的大小无关，只与方向和距离有关。,通过反方向描述路线，体会位置的相对性。,体会物体的位置与物体的大小无关，只与方向和距离有关。,通过描述同学的位置，体会用一个数表示位置的缺陷，感受用两个数确定位置的必要性。,在交流与对比中感受确定位置需要参照物；同时体会位置与人的大小无关，只与参照物的距离有关，进而抽象出方格图（坐标系的雏形）。需要思考：怎样让学生感受确定参照物的必要性？,通过操作，体会数对与方格纸上的点的对应关系；通过观察、对比、思考和交流，让学生感受，不同的数对之间可以进行比较，为将来之间理解直角坐标系和运用坐标进行计算奠定基础。,通过在描述同一方位熊猫馆和狮虎山的位置，体会确定位置中使用角度的必要性。,通过在描述同一角度大象馆和长颈鹿馆的位置，体会确定位置中使用距离的必要性。,通过反方向的路线体会位置的相对性。,借助情景，感受参照物在确定位置中的必要性，体会物体的位置关系物体的大小无关，抽象出极坐标的雏形。,运用不同方法确定位置，体会不同方法之间区别和联系，感受确定平面上物体的位置需要用到两个数；同时体会用数表示位置的简洁性。,原杜郎口中学副校长、现在北京师范大学小学