简单的线性规划问题[1]

4.2简单的线性规划(说课稿)一、教学内容分析 线性规划处于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。教科书利用“工厂日生产安排”这个具体的线性规划问题为引例，目的在于提出问题，引入研究的课题。同时帮助学生认识到数学与实际生活有关，体会数学的应用价值解决这个实际问题需要先将实际问题转化为数学问题，然后利用图解法求出最优解。考虑到学生的实际情况，于是我把本节内容分为两部分：第一课时，直接学习如何利用z的几何意义，运用图解法求出给定线性约束条件下的线性目标函数的最优解；第二课时，从实际问题入手，掌握如何将实际问题转化为数学问题。这样做也是为了分散难点，突出重点。本节课是第一课时，它具有承前启后的作用。通过这一部分的学习，使学生进一步体验数形结合思想和转化思想在数学中的应用，也是培养学生学习数学兴趣的一个重要环节。 二、教法与学法通过前一节课的学习，学生已对数形结合思想有了一定的认识，因此，在本节课上，本着从学生实际出发，可从直接解决给定线性约束条件、线性目标函数的最优解入手，让他们掌握利用z的几何意义，用图解法解决这类问题的方法，这样做也是为了下一节更好地学习线性规划的实际问题打下了基础。 三、学习目标和重难点 鉴于本课时知识的特点和作用，教学目标和教学重难点确定如下： （一)教学目标 1知识与技能：使学生了解二元一次不等式组表示的平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 （二）教学重点、难点 教学重点：理解目标函数的几何意义；用图解法解决简单的线性规划问题。 教学难点：可行域的确定以及准确求得线性规划问题的最优解。四、教学活动（一）、课题导入复习提问：1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 （二）、探究新课： 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组： （1）（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。（3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答： 设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式组（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。（5）获得结果：由上图可以看出，当实现经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 2、抽象概括线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故称其为线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解 3、变换条件，加深理解 探究：（1）在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利 2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？ （2）有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？（三）、学生练习1请同学们结合课本P103练习1-1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，使式子中的x、y 满足约束条件 解：不等式组表示的平面区域如图所示：令z=0，得2x+y=0，作直线:2x+y=0。易知，点（0，0）在直线:2x+y=0上.于是，作一组与直线平行的直线 :2x+y=t,tR. 从而可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以其经过点A（2，-1）的直线所对应的t值最大. 所以zmax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点B（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点A（）的直线所对应的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11. zmax=3+5=17（4） 、课时小结： 1、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件和线性目标函数； （2）由二元一次不等式组表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解；（4）求出目标函数的最大值和最小值。 2、在解决线性规划问题时要注意：（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；（2）线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足线性约束 条件的最优解有无数多个（五）、布置作业：课本第108页习题34A组第6题、B组第1题.五、教学反思 在课堂教学过程中，从