科学计算与Matlab4-插值法

科学计算与MATLAB,主讲：唐建国中南大学材料科学与工程学院2013.09,第四讲插值法,内容提要,引言Lagrange插值分段低次插值Hermite插值三次样条插值插值方法比较MATLAB的插值函数小结,2020/6/6,3,1、引言,2020/6/6,4,理论上讲，任何物理规律都可以用函数来描述，则在某一个区间内一定存在：,实际上，通过实验只能得到一些离散点上的函数值,而对于非测量点上的函数值是未知的，即无法利用它测量光强。对于一般情况，采用如下表示：,2020/6/6,5,在某个区间内，寻求f(x)的近似表达式。为了获得函数在非节点处的函数值，就需要我们设法构造一个尽可能简单的函数（如多项式函数）来近似代替函数f(x)，即：,如果y(x)得到，就可以利用它，近似计算该区间内的非测量点的函数值。,插值：研究用简单函数为各种离散数据建立连续数学模型的方法。,2020/6/6,6,2020/6/6,7,定义已知函数y=f(x)在a,b有定义，且已知它在n+1个互异节点ax0x1xnb上的函数值y0=f(x0)，y1=f(x1),yn=f(xn)，若存在一个次数不超过n次的多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn满足条件:Pn(xk)=yk(k=0,1,n)则称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。点x0,x1,xn称插值节点，f(x)为被插值函数。a,b称插值区间，点x称插值点。插值点在插值区间内的叫内插，否则叫外插。,2020/6/6,8,2020/6/6,9,设Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn是y=f(x)在a,b上的n+1个互异节点x0,x1,xn的插值多项式，则求Pn(x)问题归结为求系数a0,a1,an。,定理n次插值问题的解是存在而且唯一的。,证明：,由插值条件：Pn(xk)=yk(k=0,1,n),得关于a0,a1,an的n+1阶线性方程组,2020/6/6,10,故Pn(x)存在且唯一。,因,故上式V(x0xn)不为0。,据Cramer法则，方程组解存在且唯一。,其系数行列式是Vandermonde行列式,2020/6/6,11,给定插值节点x0,x1，y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性插值多项式L1(x)=a0+a1x，使满足:L1(x0)=y0,L1(x1)=y1.,2、Lagrange插值,2.1线性插值与抛物插值,1.线性插值：n=1情形,y=L1(x)的几何意义就是过点(x0,y0)，(x1,y1)的直线。,L1(x)的表达式：,点斜式（NEWTON）:,两点式:,2020/6/6,12,由两点式可以看出，L1(x)是由两个线性函数,的线性组合得到，其系数分别为y0，y1。即,显然，l0(x)及l1(x)也是线性插值多项式，在节点x0,x1上满足条件：l0(x0)=1,l0(x1)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1.,称l0(x)及l1(x)为线性插值基函数。,(j,k=0,1),即,2020/6/6,13,l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0.l1(x0)=0,l1(x1)=1,l1(x2)=0.l2(x0)=0,l2(x1)=0,l2(x2)=1.,2.抛物插值：n=2情形,假定插值节点为x0,x1,x2，求二次插值多项式L2(x)，使L2(xj)=yj(j=0,1,2),y=L2(x)的几何意义就是过(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)三点的抛物线。,采用基函数方法，设L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2,此时基函数l0(x),l1(x),l2(x)是二次函数，且在节点上满足：,2020/6/6,14,满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x),因x1,x2为其零点，故可表为,故,即,(j,k=0,1,2),其中A为待定系数，由l0(x0)=1,得,2020/6/6,15,显然L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2满足条件L2(xj)=yj(j=0,1,2),同理,将l0(x),l1(x),l2(x)代入得,2020/6/6,16,取x0=4,y0=2，x1=9,y1=3，x2=16,y2=4.,取x0=4,x1=9,x2=16,例,已知,求,解,（1）线性插值：,取x0=4,x1=9,（2）抛物插值：,2020/6/6,17,n次插值就是利用n+1个插值节点构造n次插值多项式,根据插值函数条件，可以得到：,2.2Lagrange插值多项式,2020/6/6,18,设有n+1个互异节点x0x1xn，且yi=f(xi)(i=0,1,2,n)构造Ln(x)，使Ln(xj)=yj(j=0,1,2,n),2.2Lagrange插值多项式,定义,若n次多项式lj(x)(j=0,1,n)在n+1个节点x0x1xn上满足条件,(j,k=0,1,n),则称这n+1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。,2020/6/6,19,由n=1,2时的讨论可得,(k=0,1,2,n),或记为,故满足插值条件的多项式为:,称Lagrange插值多项式。,2020/6/6,20,定理:设f(x)在a,b上具有n阶连续导数,且f(n+1)(x)存在,节点ax0x1)；而当|x|c时，Ln(x)发散。,2020/6/6,31,取xk=-5+k计算:f(xk)(k=0,1,10)构造L10(x).取:tk=-5+0.05k(k=0,1,200),计算:L10(tk),下图给出当n=10时，y=L10(x)及f(x)=1/(1+x2)在-5,5上的图形。,2020/6/6,32,分段线性Lagrange插值,3.1分段线性插值的构造,设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,n,hi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，,任取两个相邻的节点xk，xk+1，形成一个插值区间xk，xk+1,构造Lagrange线性插值,k=0,1,2,n-1,2020/6/6,33,显然,称由上式构成的插值多项式L1(x)为分段线性Lagrange插值多项式。,i=0,1,2,n,2020/6/6,34,故也称折线插值,如右图：,但曲线的光滑性较差，且在节点处有尖点。,如果增加节点的数量，减小步长,会改善插值效果。,因此,则,2020/6/6,35,由前述余项定理可知，n次Lagrange插值多项式的余项为：,3.2分段线性插值的误差估计,则分段线性插值L1(x)的余项为,2020/6/6,36,3.3分段插值的Lagrange,2020/6/6,37,4、埃尔米特插值（Hermite）,Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。,已知节点处函数值及对应节点导数值，求使其函数值及导数值均相等的插值多项式。,埃尔米特插值的基本思想为：,设ax0x1xnb上，,(j=0,1,2,n),求H(x)，使,(j=0,1,2,n),2020/6/6,38,共有2n+2个条件，可唯一确定一次数2n+1的多项式H2n+1(x)H(x)。,形式：,一般来说，Hermite插值多项式的次数如果太高会影响收敛性和稳定性，因此2n+1不宜太大，仍用分段插值。,故仅考虑n=1的情况，即三次Hermite插值。,2020/6/6,39,4.1三次Hermite插值公式,考虑只有两个节点的插值问题：,设f(x)在节点x0，x1处的函数值为y0，y1；在节点x0，x1处的一阶导数值为y0，y1。,两个节点最高可以用3次Hermite多项式H3(x)作为插值函数。,H3(x)应满足条件：,采用基函数方法构造。,2020/6/6,40,4.2MATLAB的实现,2020/6/6,41,例：给出sin0.34的近似值,2020/6/6,42,5、三次样条插值,样条：是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。,样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。,1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。,因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导数连续但需要已知，故引入样条插值概念。,2020/6/6,43,三次样条也是分片三次插值函数。物理上的样条在满足插值限制的前提下，最小化势能。数学上的样条必须满足二次导数连续，且满足插值限制。,2020/6/6,44,5.1三次样条插值函数的定义,给定区间a,b上的一个划分：a=x0x1xn=b，已知函数f(x)在点xj上的函数值为f(xj)=yj,(j=0,1,2,n)如果存在分段函数,满足下述条件：,(1)S(x)在每一个子区间xj-1,xj(j=0,1,2,n)上是三次多项式；(2)S(x)在每一个内接点xj(j=0,1,2,n)具有直到二阶的连续导数；,则称S(x)为节点x0,x1,xn上的三次样条函数。,若S(x)在节点x0,x1,xn上还满足插值条件：(3)S(xj)=yj(j=0,1,2,n),则称S(x)为三次样条插值函数。（即全部通过样点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）,2020/6/6,45,5.2三次样条插值多项式,由(1)知，S(x)在每一个小区间xj-1,xj上是一三次多项式，若记为Sj(x),则可设,要确定函数S(x)的表达式，须确定4n个未知系数aj，bj，cj，dj(j=1,2,n)。,由(2)知，S(x)，S(x)，S(x)在内节点x1,x2,xn-1上连续，则,j=1,2,n-1,2020/6/6,46,可得3n-2个方程，又由条件(3),j=1,2,n,得n+1个方程，共可得4n-2个方程。,要确定4n个未知数，还差两个方程。,通常在端点x0=a,xn=b处各附加一个条件，称边界条件，常见有三种：,(1)自然边界条件：,(2)固定边界条件：,自然样条（最光滑）,(3)周期边界条件：,共4n个方程，可唯一地确定4n个未知数。,2020/6/6,47,6、插值方法比较,2020/6/6,48,上面的图描述了光滑性和局部单调性（保形状）的一种折衷。分片线性插值：保持单调性的，但光滑性比较差。多项式插值：无限可微，但不保持形状，特别是在端点的地方。spline插值在这两个极端之间。样条光滑，样条的两阶导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。人的眼睛可以检测出图形上曲率的不连续。另一方面，样条不一定保形状。,2020/6/6,49,7、MATLAB的插值函数,插值函数及其功能,2020/6/6,50,格式：yi=interp1(x,y,xi,method),说明：xy输入插值节点向量xiyi插值点methodnearest：最近插值，用直角折线连接节点linear：线性插值，参数省略时，默认此项pehip：分段三次Hermite插值，具有一阶导数连续splin：三次样条插值，具有一阶、二阶导数连续,2020/6/