第十四章 勾股定理

第十四章勾股定理：1勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么 ，即直角三角形两直角边的平方和等于 。2. 勾股定理的变形式：由可得到（1） ；（2） ； （3）； （4）； （5）3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足关系：， 那么这个三角形是 。4. 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形的步骤： （1）首先确定最大边（如最大边是，其他两边分别为）； （2）分别计算出和； （3）若，则ABC为直角三角形，且C=90；若， 则ABC不是直角三角形。5. 勾股数：满足的三个 数，称为勾股数。【，且为正整数】：1小心“勾三股四弦五”的惯性思维 例：已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边的长为 。 错解：5 剖析：题目中隐含着两种情况：一种是已知的两边长3、4都是直角边，这时的第三边为斜边，长为5；另一种是已知长为4的边为斜边，长为3的边为直角边，此时的第三边（另一条直角边）长为。 正解：5或2 小心贪图简便，无中生有 例：在ABC中，求。错解： 剖析：题目中并没有说明ABC是直角三角形，则不能应用勾股定理。若是直角三角形，则也不一定是斜边。犯这种错的原因是无中生有，不仅增加了直角的条件，而且增加了为斜边的条件。正解：利用三角形三边之间的关系，得717 3. 小心顾此失彼，考虑不周 例：在ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求ABC的周长。 错解：如图，在RtABD和RtACD中，由勾股定理得：,所以，则.故ABC的周长为=15+14+13=42. 剖析：上述解法只考虑到ABC是锐角三角形的情形，而忽略了钝角三角形的情况。正解：有两种情况： （1）高AD在ABC内，详见上面错解的过程； （2）高AD在ABC外，如下图，同理可求得， 此时，ABC的周长为=15+4+13=32。综合得ABC的周长为42或32。：1. 数形结合思想 数形结合思想是非常重要的数学思想方法。勾股定理是从“形”到“数”的转化，它的验证和应用都体现了数形结合思想；而勾股定理的逆定理则是由“数”到“形”的转化，整个知识结构都是数与形的统一。2. 方程思想方程是一个含有未知数的等式，而勾股定理的结论则是一个等式，因此，在本章中许多求直角三角形某边长的问题中，常常需运用方程思想解决问题。3. 转化思想数学问题解决的过程呢个的实质就是一个转化过程，即将“未知”转化为“已知”，将“复杂”转化为“简单”的过程。如：在本章中，求最短距离问题，通常是将其几何体侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求解。4. 分类讨论思想 分类讨论思想的实质是克服思维的片面性，防止漏解、错解。在本章中，已知直角三角形的两边长，且较大的边长未告之是直角边还是斜边而求第三边时，这就需要用到分类讨论思想求解。另外，已知三角形的两边及第三边上的高求第三边时，应考虑其高在三角形的内部还是外部。5. 一般与特殊之间的辩证思想 从“特殊”情况归纳出“一般”特征、规律，在“一般”规律的基础上探索、推导“特殊”性质，这是我们在学习中常用的方法。直角三角形是三角形的一种，它具备任意三角形的性质，也有其它三角形不具备的特性，如勾股定理。在直角三角形中，还有更特殊的，如等腰直角三角形、有一个锐角为30的直角三角形等，它们的特殊性质需要同学们用心去推导、理解、掌握。：1. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6、BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。解：在RtABC中，AC=6、BC=8，根据勾股定理得 。由折叠可知AE=AC=6,CD=DE，所以BE=AB-AE=4.在RtBED中，设，则BD=(8-).根据 得，解得=3，即CD的长为3。2. 试说明以（是正整数，且）为边长的三角 形是直角三角形。解： 0，故 = 故以（是正整数，）为边长的三角形是直角三角形：1、如图，RtABC中，BAC=90,ADBC于点D，AE为BC边的中线，AB=40，AC=30，求DE的长度。2、如图所示，在一次实践活动中，小新从A地出发，沿北偏东45方向行进了千米到达B地，然后沿北偏西45方向行进了5千米到达目的地点C，求A、C两地之间的距离。3、小龙家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40米、50米，第三边上的高为30米，请你帮小龙计算这块菜地的面积（精确到1米，）4、如果ABC的三边长分别是（1），那么这个三角形是直角三角形吗？5.如图，公路和在P处交汇，且=30,在A处有一所学校，与交汇处P点相距160米，假设速度为10米/秒的载重车行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，那么载重车在公路上沿方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？若会，则影响多长时间？说明你的想法。6. 如图所示为长方形的场院ABCD，AB=9，AD=12，点B处竖着一根电线杆，在电线杆上距地面8处的E处有一盏灯，求点D到灯E的距离。7.如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合。求（1）折叠后DE的长；（2）以折痕EF为边的正方形面积。8.如图，在3米高的柱子顶端有一只老鹰，它看到一条蛇从距柱脚9米外向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去。如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？9.如图所示，正方形ABCD的边长为4,正方形ECFG的边长为8，求阴影部分的面积和周长。（精确到0.1）10.如图，在ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC边上一点，AD=15，且ADAC,求BD的长。11. 如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，E是AB的中点，过点E作EFBC交CD于点F.AB=4，BC=6，B=60.提示：直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半（1）求点E到BC的距离；