一道中考二次函数压轴题的解题启示录

一道中考二次函数压轴题的解题启示录山东沂源县徐家庄中心学校 256116 孟令刚 左效平考题在线：（2017年菏泽）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=a+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B(4,0)，与过A点的直线相交于另一点D(3,)，过点D作DCx轴，垂足为C. （1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PNx轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求PCM面积的最大值；www-（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2-1-c-n-2-1-cnjy育图 11思路探寻：第一问是一个基本问题，解答起来应该没有问题.确定二次函数解析式的基本方法有三种：一般式型： 设解析式为y= a+bx+c,需要知道图像上任意三点的坐标，分别代入后转化为a,b,c的三元一次方程组，借助消元法，分别求得a,b,c的值，回代即可得函数解析式；顶点式型：已知抛物线的顶点坐标(h,k)及其图像上一个点的坐标， 设解析式为y= a+k,代入任意点的坐标，转化为a的一元一次方程，求得a的值，回代即可得函数解析式；交点式型：已知抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（，0）及其图像上一个点的坐标， 设解析式为y= a（x-）（x-）,代入任意点的坐标，转化为a的一元一次方程，求得a的值，回代即可得函数解析式.这里的二次函数表达式是一般式，但是常数c是已知的，所以只需将点B,D的坐标分别代入，将问题转化为关于a,b的二元一次方程组即可，解二元一次方程组是同学们必须熟练，准确，敏捷完成的数学基础性问题.第二问 求三角形PCM面积的最大值，需要按照如下思路去定寻：首先确定三角形PCM是直角三角形，这样就顺利确定了这个三角形的面积应该是PMPC，这是解题的切入点；接下来就是确定PM，PC的长度，为解决此环节问题，需要一个小技巧，这就是设动点P的坐标为(m,0),这样PC=3-m,PM等于当x=m时，直线AD对应的函数值，只需提前确定好直线AD的解析式即可，这样就把三角形PCM的面积转化为m的二次函数，其最值可定；第三问主要是渗透平行四边形的判定，仔细观察不难发现已经具备的条件是MNCD，根据判定方法，只需加上MN=CD即可，这样确定MN的长度即成为了解题的关键，为了防止漏解，在表示MN的距离时最好借助绝对值来完成，这样即防止了漏解，又能不陷入分类思想的漩涡中，大大提高了解题的准确率.解答直播：（1）把点B(4,0)，点D(3,)分别代入y=a+bx+1中，得，解得，所以抛物线的解析式为y=-+x+1；（2）因为点A(0,1), 点D(3,),设直线AD的解析式为y=kx+n，所以，解得，所以直线AD的解析式为y=x+1. 设动点P的坐标为(m,0),所以PC=3-m,当x=m时，y=m+1,所以M（m, m+1）,所以PM=m+1，所以直角三角形PCM的面积S=PMPC=（3-m）(m+1)=-+,因为0m3, -0,所以S有最大值，且当m=时，S最大值为；（3）设动点P的坐标为(t,0),所以M（t, t+1）,N（t, -+t+1）,所以MN=| -+t+1-t-1|=| -+t|,因为DC=，且MNCD，所以当MN=DC时，四边形DCMN是平行四边形，所以| -+t|=，所以-+t=或-+t=-，当-+t=时，整理，得3-9t+10=0,此时=81-1200，故方程无解，此时不存在满足条件的点P；当-+t=-时，整理，得3-9t-10=0, 此时=81+120=2010，故方程有解，所以=，=，因为t0，所以=舍去.综上所述，存在这样的点P使得以D,C,M,N为顶点四边形是平行四边形，此时P(,O).解后反思：通过解题，我们深深体会到如下几点：1.确定二次函数的解析式需要熟练运用好方程的思想，根据未知数的个数，分别运用三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，只要熟练掌握解方程或解方程组的基本要领，确定解析式可谓水到渠成；2.学会根据题意把最值问题科学转化成相应的二次函数的最值问题，而确定二次函数的最值是同学们的必须课，是二次函数学习的最重要知识点之一，要在常态学习中不断强化，提高解题的熟练度和准确度；3.学会把坐标系背景下平行y轴直线上两点间的距离转化为纵坐标差的绝对值，从而使得问题求解更全面，更缜密，谨防漏解致错而痛失不应该丢的分值而遗憾；4.学会灵活处理二次函数与其他知识的综合，并能灵活，科学的选择解题方法，使得综合问题求解不综合，巧妙将综合化归为单一，专项知识加以求解，这是数学解题的实质，要在学习过程中不断强化和锻炼.除了上述的反思，我们还在题目的引申变式上进行反思，于是就生成了如下两个最值问题：引申1：若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2-1分析：三角形PAD周长最小问题，实际上可以转化为将军饮马问题的模型加以解决，充分利用对称的思想，进而转化为一次函数解析式确定，最后借助直线与x轴相交问题得以破解.2-1解：因为点A（0,1），所以其对称点的坐标为（0，-1），因为直线经过点 (0,-1), 点D(3,),设直线解析式为y=kx+n，所以，解得，所以直线的解析式为y=x-1，令y=0，得x-1=0,解得x=,所以存在这样的点P，使得三角形PAD的周长最小，此时点P的坐标为（,0）.引申2：如图2，若P是直线AD上方抛物线上的一动点，设P的横坐标为t，求三角形PAD面积的最值.2-1图 2分析：将三角形PAD的面积适当分割，把三角形的面积转化为关于变量t的二次函数，从而求得其最值解：过P作PCy轴交AD于G，过A作AHPC，垂足为H，过D作ADDE，二线交于点E，过D作DFPC，垂足为F，因为点P的横坐标为t，且抛物线解析式为y=-+x+1，直线AD的解析式为y=x+1，所以点P（t, -+t+1），点G（t,