2017上海高考数学试卷含答案

2017上海一、填空题(本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分)1(2017年上海)已知集合A1，2，3，4，集合B3，4，5，则AB【解析】因集合A1，2，3，4，集合B3，4，5，故AB3，42(2017年上海)若排列数A654，则m_【解析】因排列数A65(6m1)，故6m14，解得m33(2017年上海)不等式1的解集为【解析】由1，得11，则0，解得x0，即原不等式的解集为(，0)4(2017年上海)已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于【解析】设球的半径为R，则由球的体积为36，可得R336，解得R3该球的主视图是半径为3的圆，其面积为R295(2017年上海)已知复数z满足z0，则|z| 【解析】由z0得z230，即z23，故zi，|z|6(2017年上海)设双曲线1(b0)的焦点为F1，F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|5，则|PF2| 【解析】双曲线1中，a3由双曲线的定义得|PF1|PF2|6又|PF1|5，解得|PF2|11或1(舍去)，所以|PF2|117(2017年上海)如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为(4，3，2)，则向量的坐标是 【解析】由的坐标为(4，3，2)，可得A(4，0，0)，C(0，3，2)，D1(0，0，2)，则C1(0，3，2)，故(4，3，2)8(2017年上海)定义在(0，)上的函数yf(x)的反函数为yf1(x)，若g(x)为奇函数，则f1(x)2的解为 【解析】g(x)为奇函数，可得当x0时，x0，即有g(x)g(x)(3x1)13x，则f(x)13x由f1(x)2，可得xf(2)132，即f1(x)2的解为9(2017年上海)已知四个函数：yx，y，yx3，yx从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数nC6，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有，共2个故事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p10(2017年上海)已知数列an和bn，其中ann2，nN*，bn的项是互不相等的正整数，若对于任意nN*，bn的第an项等于an的第bn项，则【解析】因ann2，nN*，若对于一切nN*，bn中的第an项恒等于an中的第bn项，故baabb故b1b12，b4b22，b9b32，b16b42故b1b4b9b16(b1b2b3b4)2，211(2017年上海)设1，2R且2，则|1012|的最小值等于 【解析】由1sin 11，可得12sin 13，则1同理可得1要使2，则1，即sin 1sin 221所以12k1，222k2，k1，k2Z所以|1012|10(2k1)(k2)|10(2k1k2)|，当2k1k211时，|1012|取得最小值12(2017年上海)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合P1，P2，P3，P4，点P，过P作直线lP，使得不在lP上的“”的点分布在lP的两侧用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)D2(lP)，则中所有这样的P为 【解析】设记为“”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条；经过点P1，P3，P4的符合条件的直线lP各有1条，即直线P2P1，P2P3，P2P4故中所有这样的P为P1，P3，P4二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13(2017年上海)关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D为( )AB CD【解析】关于x，y的二元一次方程组的系数行列式D故选C14(2017年上海)在数列an中，an()n，nN*，则 an()A等于B等于0C等于D不存在【解析】数列an中，an()n，nN*，则an()n0故选B15(2017年上海)已知a，b，c为实常数，数列xn的通项xnan2bnc，nN*，则“存在kN*，使得x100k，x200k，x300k成等差数列”的一个必要条件是()Aa0 Bb0 Cc0 Da2bc0【解析】由存在kN*，使得x100k，x200k，x300k成等差数列，可得2a(200k)2b(200k)ca(100k)2b(100k)ca(300k)2b(300k)c，化简，得a0故使得x100k，x200k，x300k成等差数列的必要条件是a0故选A16(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1和C2：x21P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值记(P，Q)|P在C1上，Q在C2上且w，则中的元素有( )A2个 B4个 C8个 D无穷个【解析】P为椭圆C1：1上的动点，Q为C2：x21上的动点，可设P(6cos ，2sin )，Q(cos ，3sin )，0，2，则6cos cos 6sin sin 6cos()当2k，kZ时，取得最大值w6，即使得w的点对(P，Q)有无穷多对，中的元素有无穷个三、解答题(本大题共5题，共141414161876分)17(2017年上海)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积；(2)设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小17【解析】(1)因直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5故三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCAA1ABACAA142520(2)连接AM因直三棱柱ABCA1B1C1，故AA1底面ABC故AMA1是直线A1M与平面ABC所成角因ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，故AMBC由AA1底面ABC，可得AA1AM，故tanA1MA故直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan18(2017年上海)已知函数f(x)cos2xsin2x，x(0，)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设ABC为锐角三角形，角A所对边a，角B所对边b5，若f(A)0，求ABC的面积18【解析】(1)函数f(x)cos2xsin2xcos 2x，x(0，)由2k2x2k，解得kxk，kZk1时，x，可得f(x)的增区间为，)(2)f(A)0，即有cos2A0，解得2A2k又A为锐角，故A又a，b5，由正弦定理得sinB，则cosB所以sinCsin(AB)所以SABCabsinC519(2017年上海)根据预测，某地第n(nN)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn(单位：辆)，其中anbnn5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn4(n46)28 800(单位：辆)，设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】(1)前4个月共享单车的累计投放量为a1a2a3a42095420430965，前4个月共享单车的累计损失量为b1b2b3b4678930，故该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935(2)令anbn，显然n3时恒成立当n4时，有10n470n5，解得n故第42个月底，保有量达到最大当n4，an为公差为10的等差数列，而bn为公差为1的等差数列，故到第42个月底，共享单车保有量为395354239535428 782又S424(4246)28 8008 736，因8 7828 736，故第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量20(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：y21，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点(1)若P在第一象限且|OP|，求P的坐标；(2)设P(，)，若以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；(3)若|MA|MP|，直线AQ与交于另一点C且2，4，求直线AQ的方程20【解析】(1)设P(x，y)(x0，y0)，由点P在椭圆：y21上且|OP|，可得解得x2，y2，则P(，)(2)设M(x0，0)，A(0，1)，P(，)若P90，则0，即(，)(x0，)0，故()x00，解得x0若M90，则0，即(x0，1)(x0，)0，故x02x00，解得x01或x0若A90，则M点在x轴负半轴，不合题意故点M的横坐标为或1或(3)设C(2cos ，sin )，因2，A(0，1)，故Q(4cos ，2sin 1)又设P(2cos ，sin )，M(x0，0)，因|MA|MP|，故x021(2cos x0)2(sin )2，整理得x0cos 因(4cos 2cos ，2sin sin 1)，(cos ，sin )，4，故4cos 2cos 5cos，2sin sin 14sin 故cos cos ，sin (12sin )以上两式平方相加，整理得3(sin )2sin 20，故sin 或sin 1(舍去)此时，直线AC的斜率kAC(负值已舍去)，如图故直线AQ的方程为为yx121(2017年上海)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2R，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(1)若f(x)ax31，求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数，证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零，g(x)是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g(x)的最大值函数h(x)f(x)g(x)证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”21【解析】(1)由f(x1)f(x2)，得f(x1)f(x2)a(x13x23)0，因x1x2，故x13x230，得a0故a的取值范围是0，)(2)证明：若f(x)是周期函数，记其周期为Tk，任取x0R，则有f(x0)f(x0Tk)由题意，对任意xx0，x0Tk，f(x0)f(x)f(x0Tk)，故f(x0)f(x)f(x0Tk)又因f(x0)f(x0nTk)，nZ，并且x03Tk，x02Tkx02Tk，x0Tkx0Tk，x0x0，x0Tkx0Tk，x02TkR，故对任意xR，f(x)f(x0)C，为常数(3)证明：(充分性)若f(x)是常值函数，记f(x)c1，设g(x)的一个周期为Tg，则h(x)c1g(x)，对任意x0R，h(x0Tg)c1g(x0Tg)c1g(x0)h(x0)，故h(x)是周期函数(必要性)若h(x)是周期函数，记其一个周期为Th若存在x1，x2，使得f(x1)0，且f(x2)0，则由题意可知，x1x2，那么必然存在正整数N1，使得x2N1Tkx1，故f(x2N1Tk)f(x1)0，且h(x2N1Tk)h(x2)又h(x2)g(x2)f(x2)0，而h(x2N1Tk)g(x2N1Tk)f(x2N1Tk)0h(x2)，矛盾综上，f(x)0恒成立由f(x)0恒成立，任取x0A，则必存在N2N，使得x0N2Thx0Tg，即x0Tg，x0x0N2Th，x0，因x03Tk，x02Tkx02Tk，x0Tkx0Tk，x0x0，x0Tkx0Tk，x02TkR