第三章一元函数积分学参考答案

爱启航在线考研 1 第三章一元函数积分学第三章一元函数积分学 3.1 答案：答案： （B） 解析：解析： 2 2ln 2 x fx，故 2 d2ln 2d x fxfxxx ，故 选（B）. 3.2 答案：答案：应填 2 1 x 解析：解析：由题意知， 1 lnf xxC x ，则 2 1 fx x . 3.3 答案：答案：应选（D） 解析：解析：设exu ，则uxln，由 e1 x fx ，得 1ln ,1lndlnfuu f uuuuuC ， 因此( )lnf xxxC.故选（D）. 3.4 解：解： （1） 43 11 d 3 xC xx . （2） 79 3 22 2 dd 9 xx xxxxC . 3.5 解：解： （1） 33323 1111 ddddd 11111 xx xxxxx xxxxx 2 111 12 1 C x x . （2） 2 dede111 dde eee12e1e1e1 e1 xx x xxxxx xx x x 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 2 11 ln e1ln e1 22 xx C . （3） 252 2 3 333 2 d222d2 d22dxxxxxxxxxx 85 33 36 22 85 xxC. 3.6 解：解： （1） ln1ln dln1lnd ln1ln 1 xx xxxxx x x 2 11 ln 2 x C x ，其中C为任意常数. （2） 22 d darctan 11 fxf x xf xC f xf x ，其中C为任意常数. （3） 1 22 2 22 2 d 2111 d94d 94 28 94 32 xx xxx x x 2 121 arcsin94 234 x xC，其中C为任意常数. 3.7 解：解： （1）令 2 1xu，则 22 1xu. 32 5622 111 ddd1312 d 666 xxxuuu u. 故原式 2 2 2 24253 1 d 12 1 d21d 53 u uu uuuuuuuuC u 53 22 22 2 12 111 53 xxxC. （2）令24xt ，则 2 4 2 t x ，ddxt t，于是 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 3 2 2 2 d4d 24 4 xt I xx t ，再令2tantu，则 2 d2secdtu u，于是 2 2 24 2secd1111 4cosd1cos2dsin 2 4sec2448 u u Iu uuuuuC u 22 11212424 arctanarctan+ 424424 44 ttxx CC x tt . 因此 2 d241 arctan 4422 24 4 xx C xxx x . 3.8 解：解： （1） 332323 3e ddeee3dede xxxxxx xxxxxxxx 2332 32d3eee6eeed xxxxxx xxxxxxx 2233 36deeee366eeee xxxxxxxx xxxxxxxC （2） 233332 111111 ln dln dlndlnd 33333 xx xx xxxxxxxxx x 33 11 ln 39 xxxC. （3） 2 22 111 arcsin darcsindarcsind 2 11 x xxxxxxxx xx 22 2 11 arcsindarcsin1 2 1 xxxxxxC x . （4）e cos dcos dee cose sin d xxxx x xxxx x e cossin dee cose sine cos d xxxxx xxxxx x ， 1 e cos de (sincos ) 2 xx x xxxC . 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 4 3.9 解：解： （1） 2 222 2 d613 d351 d8 6132613 32 xx xx x xxxx x 2 13 ln6134arctan 22 x xxC . （2） 2 22 461 121 1 2121 xxABC xx xxx ， 2 2 461211211xxAxB xxC x ， 将右端展开，得到 22 461424xxAB xABC xABC . 因为这是恒等式，等号左右x的同次幂的系数应该相等，故应有 424, 46, 1, AB ABC ABC 解得1A ，0B ，2C . 故 2 22 46112 1 1 2121 xx x xxx . 由此可求得 2 22 461d2 dd 1 1 2121 xxx xx x xxx 1 ln|1| 21 xC x ，其中C为任意常数. 3.10 解：解：根据定积分的几何意义， 3 2 3 9dxx 表示的是由上半圆周 2 9yx以及 x轴所围成的半圆的面积，因此有 3 2 3 9 9d 2 xx . 3.11 答案：答案：应选（D） 解析：解析： 23 sinxx是(, )a a上的奇函数，故0N ， 2 3ex x是(, )a a上的奇函数， 23 cos x是(, )a a上的偶函数，故( 1)d20 a a Pxa ， 23 0 2cosd0 a Qxx ，所以 PNQ. 故选（D）. 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 5 3.12 答案：答案：应选（D） 解析：解析： 曲线( )yf x在横坐标0 x对应的点(0,1)处切线为12yx . 选项 （D） 中函数记为( )yF x. 由(0)1F，(0)2 (0)2Ff，知曲线( )yF x在横坐标0 x对 应点处切线方程也为12yx . 故应选（D）. 3.13 答案：答案：应填 2 e , 解析：解析：需要考虑( )F x的导函数( )ln1F xx. 令( )0F x ，即得 2 ex . 3.14 答案：答案：应选（D） 解析：解析：由 22 2222 00 dd xx F xx f ttxftt可知， 22 224234 00 ( )2( )d22d2 xx F xxf ttx f xxxf ttx f x. 故选（D）. 3.15 答案：答案：应选（B） 解析：解析： 2222 000 ddd xxx F xxtfttxfttt ftt ， 22 00 ( )2( )d( )( )2( )d xx F xxfttx fxx fxxftt. 00 2 00 2( )d( )d lim2lim2(0)1 xx xx xfttftt f xx ， 则 1 0 2 f . 故选（B）. 3.16 解：解： 22222 111 lim 12 n nnnn 1 22220 11 1111 limlimd 1 1 nn nn ii n x nn nix i n 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 6 1 2 0 ln1ln 12xx . 3.17 答案：答案：应填 5 6 解析：解析：作定积分换元1 xt， 原积分 101 2 110 115 ( )d(1)dd 236 f tttttt . 3.18 解：解：因分段函数 (1)(2),01, |1|2|(1)(2),12, (1)(2),23. xxx xxxxx xxx 则由定积分的分段可加性得 3123 0012 (|1|2|)d(32 )dd(23)d5 xxxxxxxx. 3.19 答案：答案：应选（A） 解析：解析：奇函数的原函数是偶函数（但要注意，偶函数( )f x的原函数只有 0 ( )d x f tt 为奇函数，因为其他原函数与此原函数差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是 奇函数了） ，选项（A）中被积函数为奇函数，选项（B） ， （C）被积函数都是偶函数. 选项 （D）中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分不一定是偶函数，应选（A）. 3.20 答案：答案：应填 1 2e1 a 解析：解析：由题意可知， 1 ( )e 2 x fx x . 1 111 000 0 dd222d f x xf xxf xxfxx x x 1 11 0 0 2e d2e2e1 xx axaa. 3.21 解：解： （1）原式 2 22 0 2 0 2dln 2ln3 2 x xx x . 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 7 （2）原式 212 22 010 2max 1,d2d2d xxxxx 2 3 1 1220 222(8 1) 333 x. （3）由对称性，可得 1 22 1 ln1d0 xxxx . 原式 11 222 00 21d21d xxxxx 222 22 00 1 sinsincosdsind 2 2 22 xttt tt t 2 0 1 (1 cos4 )d 42 tt 2 0 15 sin4 81628 t . 3.22 解：解：令2xt，则 2 2xt，d2dxt t， 原积分 2 0 d 2 9 t t 0 2 arctan 33 t 3 . 3.23 答案：答案：应选（C） 解析：解析： （A） 2 e e ln1 dln 2 x xx x ，不存在. （B） e ee d lnd ln ln lnln xx x xxx ，不存在. （C） e 2 e 2 e d lnd1 0 11 ln lnln xx x xxx ，收敛. （D） 11 2 ee e 2 1 2 d lnd ln2 ln ln x xxx xx ，不存在. 故选 C. 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 8 3.24 解：解：注意到被积函数内有绝对值号且1x 是其无穷间断点，故 原式 3 1 2 1 221 2 ddxx xxxx . 11 11 22 22 1 dd arcsin 21arcsin1 1 2 11 2 42 xx x xx x ， 3 2 2 33 22 2211 1 dd111 lnln 23 224 11 24 xx xx xx x . 因此 3 2 1 2 2 d ln 23 2 x xx . 3.25 解：解： （1） 2 2 d 222 2 t t x xt x . 当t 时，该极限不存在，故该反常积分发散. （2） 2 e 1 21 ee 1 d ln arcsinln 2 ln1ln d 1 x x xx x x . 3.26 解：解：由 2 2 , , yx yx 得到两个解0,0 xy及1,1xy. 即这两抛物线的交点为(0,0)及(1,1)，从而知道这图形在直线0 x 与1x 之间. 取横坐标x为积分变量，它的变化区间为0,1. 相应于0,1上的任一小区间 ,d x xx的窄条的面积近似于高为 2 xx、底为dx的 窄矩形的面积，从而得到面积元素 2 ddAxxx. 以 2 dxxx为被积表达式，在闭区间0,1上作定积分，便得所求面积为 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 9 3 2 1 3 1 2 0 0 21 d 333 x Axxxx . 3.27 解：解：在指定的这段螺线上，的变化区间为0,2. 相应于0,2上任一小区间 ,d 的窄曲边扇形的面积近似于半径为a、中心角为d的扇形的面积，从而得到 面积元素 2 1 d() d 2 Aa. 于是所求面积为 2 223 2 223 0 0 4 d 2233 aa Aa . 3.28 答案：答案：应填 1 7 解析：解析：该旋转体体积 12 3 0 1 d 7 Vxx. 故答案为 1 7 . 3.29 解：解： 2 3 2 2 00 sind1 cosd(cos ) Vxxxx 3 0 14 coscos 33 xx. 3.30 解：解： （I） 2 2 1 1 2 02d 3 Sxxx ， 3 2 2 2 4 20 d 3 Sxxx ， 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 爱启航在线考研 10 12 2SSS. （II） 2 2 1