高考理数　空间几何体的三视图、表面积和体积

8.1空间几何体的三视图、表面积和体积,高考理数(课标专用),A组统一命题课标卷题组考点一三视图与直观图,五年高考,1.(2018课标,7,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2,答案B本题主要考查空间几何体的三视图、直观图以及最短路径问题.由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示,设ME与FN为圆柱的两条母线,沿FN将圆柱的侧面展开,如图2所示,连接MN,MN即为从M到N的最短路径,由题意知,ME=2,EN=4,MN=2.故选B.图1图2,2.(2018课标,3,5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(),答案A本题考查空间几何体的三视图.两个木构件咬合成长方体时,小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件,易知俯视图可以为A.故选A.,3.(2017课标,7,5分)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16,答案B,本题考查立体几何中的三视图问题,考查学生的运算求解能力和空间想象能力.由多面体的三视图还原直观图如图.该多面体由上方的三棱锥A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1构成,其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形,则梯形的面积之和为2=12.故选B.,题型归纳有关三视图的基本问题一般有两类:一类是根据给定的空间几何体(或物体模型)画出该几何体(或物体模型)的三视图;另一类是已知某几何体的三视图,想象该几何体的结构特征,画出该几何体的空间图形.,4.(2014课标,12,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4,答案B,由多面体的三视图可知该几何体的直观图为一个三棱锥,如图所示.其中面ABC面BCD,ABC为等腰直角三角形,AB=BC=4,取BC的中点M,连接AM,DM,则DM面ABC,在等腰BCD中,BD=DC=2,BC=DM=4,所以在RtAMD中,AD=6,又在RtABC中,AC=43,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径2R=3,则R=,此时球的体积V=R3=.故选B.,8.(2017课标,16,5分)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.,解析本题考查简单几何体的空间直观图与平面展开图,考查学生的空间想象能力、数学建模能力和运算求解能力.解法一:由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,设ABC的边长为a(a0)cm,则ABC的面积为a2cm2,点O到ABC三边的距离都为acm,DBC的高为cm,则正三棱锥的高为=cm,25-a0,0a5,所得三棱锥的体积V=a2=cm3.令t=25a4-a5,则t=100a3-a4,由t=0,得a=4(满足0a5),易知此时所得三棱锥的体积最大,为4cm3.解法二:由题意知折起以后所得三棱锥的直观图如图所示,连接CO并延长交AB于H,连接DO、DH.则DO平面ABC.,答案4,令OH=xcm,则OC=2xcm,DH=(5-x)cm,得OD=cm,AB=2xcm.则VD-ABC=x2=x2cm3,令f(x)=x2,则f(x)=,则当x(0,2)时,f(x)单调递增,当x(2,2.5)时,f(x)单调递减,所以当x=2时,体积取最大值,为4=4cm3.,方法总结求解立体几何中的最值问题.在求解立体几何中的最值问题时,注意先要引入自变量,再根据几何体的点、线、面的位置关系,表示几何体中的相关量,进而建立起目标函数,最后,利用函数的性质来求解最值.,考点一三视图与直观图1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案C本题考查空间几何体的三视图和直观图,空间线、面的位置关系.由三视图得四棱锥的直观图如图所示.其中SD底面ABCD,ABAD,ABCD,SD=AD=CD=2,AB=1.由SD底面ABCD,AD,DC,AB底面ABCD,得SDAD,SDDC,SDAB,故SDC,SDA为直角三角形,又ABAD,ABSD,AD,SD平面SAD,ADSD=D,AB平面SAD,又SA平面SAD,ABSA,即SAB也是直角三角形,从而SB=3,又BC=,SC=2,BC2+SC2SB2,SBC不是直角三角形,故选C.,方法技巧三视图还原为直观图的原则是“长对正、高平齐、宽相等”,另外,在将三视图还原为直观图时,借助于正方体或长方体能使问题变得具体、直观、简单.,2.(2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是(),答案B由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此排除A、C、D,经验证B符合题意,故选B.,3.(2014湖北,5,5分)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为、的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(),A.和B.和C.和D.和,答案D设A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2).B,C,D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2),点A(0,0,2)在平面yOz上,又点C的横坐标小于点B和D的横坐标,该几何体的正视图为题图.点A,C,D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B(2,2,0)在平面xOy上,该几何体的俯视图为题图.故选D.,评析本题考查了空间直角坐标系和三视图,考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各顶点的坐标画出几何体的直观图再求解.,4.(2014北京,7,5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2S3C.S3=S1且S3S2D.S3=S2且S3S1,5.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2,答案B本题考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入棱长为2的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为PD,PD=2.故选B.,考点二空间几何体的表面积1.(2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.2+C.1+2D.2,答案B四面体的直观图如图所示.侧面SAC底面ABC,且SAC与ABC均为腰长是的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=,AC=2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SOAC,SO平面ABC,SOBO.又OS=OB=1,SB=,故SAB与SBC均是边长为的正三角形,故该四面体的表面积为2+2()2=2+.,2.(2014重庆,7,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72,答案B,该几何体的直观图如图所示,易知该几何体的表面是由两个直角三角形,两个直角梯形和一个矩形组成的,则其表面积S=34+35+5+4+35=60.选B.,3.(2016浙江,11,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.,解析由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示.该几何体由两个完全相同的长方体组合而成,其中AB=BC=2cm,BD=4cm,该几何体的体积V=2242=32cm3,表面积S=(223+243)2=362=72cm2.,答案72;32,思路分析由几何体的三视图得到该几何体的直观图(几何体由两个长方体组合而成),从而利用长方体的表面积和体积公式求解即可.,评析本题主要考查几何体的三视图、直观图以及体积和表面积的求法,考查学生空间想象能力,识图以及画图的能力.解决本题的关键是正确还原几何体的直观图.,考点三空间几何体的体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8,答案C本小题考查空间几何体的三视图和直观图以及几何体的体积公式.由三视图可知该几何体是直四棱柱,其中底面是直角梯形,直角梯形上,下底边的长分别为1cm,2cm,高为2cm,直四棱柱的高为2cm.故直四棱柱的体积V=22=6cm3.,思路分析(1)利用三视图可判断几何体是直四棱柱;(2)利用“长对正,高平齐,宽相等”的原则,可得直四棱柱的各条棱长.,2.(2017浙江,3,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+3,答案A,本题考查三视图和直观图,三棱锥和圆锥的体积计算.由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm,高为3cm的半个圆锥和三棱锥S-ABC组成的,如图,三棱锥的高为3cm,底面ABC中,AB=2cm,OC=1cm,ABOC.故其体积V=123+,213=cm3.故选A.,3.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+B.+C.+2D.+2,答案A由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组合体.V=V三棱锥+V圆柱=211+122=+.选A.,4.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.B.C.D.1,答案A由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示,其底面是等腰直角三角形ACB,直角边长为1,三棱锥的高为1,故体积V=111=.故选A.,5.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.+B.+C.+D.1+,答案C由三视图可知四棱锥为正四棱锥,底面正方形的边长为1,四棱锥的高为1,球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R=,则R=,所以半球的体积为R3=,又正四棱锥的体积为121=,所以该几何体的体积为+.故选C.,易错警示没有从俯视图中正确得到球的半径,而错误地从正视图中得到球的半径R=造成错解.或解题粗心,误认为半径R=1造成错解.,评析本题考查了空间几何体的三视图和体积公式.正确得到几何体的直观图是解题关键.,6.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为()A.B.C.D.,答案A原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a,0h0),则r24+r28=,解得r2=7,从而r=.,12.(2014山东,13,5分)三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则=.,答案,解析如图,设SABD=S1,SPAB=S2,E到平面ABD的距离为h1,C到平面PAB的距离为h2,则S2=2S1,h2=2h1,V1=S1h1,V2=S2h2,=.,评析本题考查三棱锥的体积求法以及等体积转化法在求空间几何体体积中的应用.本题的易错点是不能利用转化与化归思想把三棱锥的体积进行适当的转化,找不到两个三棱锥的底面积及相应高的关系,从而造成题目无法求解或求解错误.,13.(2016江苏,17,14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?,解析(1)由PO1=2m知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=A1PO1=622=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2O1O=628=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).,于是仓库的容积V=V柱+V锥=a24h+a2h=a2h=(36h-h3),00,V是单调增函数;当2h6时,V0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2m时,仓库的容积最大.,(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0h0),则OI=cm,IE=cm,该四棱锥的侧面积