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第二节二次函数的图象与性质(1),北师大版九年级数学下册,第二章二次函数,知识回顾,一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数.,(1)列表,(3)连线,(2)描点,2.画函数图象的主要步骤是什么?,1.二次函数的定义,3.一次函数的性质,一次函数y=kx+b(k、b为常数,且k0)中,当k0时,y随x的增大而;当k0时,y随x的增大而.,增大,减小,思考,在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么?你想直观地了解它的性质吗?,知识讲解,请你画出二次函数y=x2的图象.,(1)观察y=x的表达式,选择适当的x值,并计算相应的y值,完成下表:,0,0,9,4,1,9,4,1,3,2,1,-3,-2,-1,(2)在直角坐标系中描点:,(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x的图象.,议一议,对于二次函数y=x的图象.,(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.,(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?,抛物线,图象与x轴有交点.交点坐标是(0,0),(3)当x0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x0时呢?,x0时,y随x的增大而减小.,x0时,y随x的增大而增大.,(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?,当x=0时,y的值最小.最小值是0.,因为抛物线上的最低点坐标是(0,0),(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.,图象是轴对称图形.它的对称轴是y轴.,对称点:(-3,9)与(3,9)关于y轴对称;(-2,4)与(2,4)关于y轴对称,总结新知,函数y=x2的图象是一条抛物线,它的开口向上,且关于y轴对称.,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,它是图象的最低点.,二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后作出它的图象,它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.,做一做,(2)在直角坐标系中描点:,(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=-x的图象.,解:(1)列表:,0,0,-9,-4,-1,-9,-4,-1,3,2,1,-3,-2,-1,(1)图象与x轴交于原点(0,0).(2)y0.(3)当x0时,y随x的增大而增大;当x0时,y随x的增大而减小.(4)当x=0时,y最大值=0.(5)图象关于y轴对称.,议一议,说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.,读一读,二次函数的广泛应用,教材第33页至34页内容,体会二次函数在实际生活中的应用,知识拓展,(1)抛物线y=2x2的开口方向是怎样的?(2)抛物线y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少?(3)当x为何值时,y随着x的增大而增大;当x为何值时,y随着x的增大而减小.(4)函数y有最大值还是最小值?为什么?,1.画出二次函数y=2x2的图象,根据图象回答下列问题,,(4)因为抛物线开口向上,所以函数y有最小值.,(1)抛物线y=2x2的开口方向是向上的.,(2)抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.,(3)当x0时,y随着x的增大而增大;当x0时,y随着x的增大而减小.,C,2给出下列四个函数:,当x0时y随x的增大而减小的函数有【】,A.1个B.2个C.3个D.4个,2.二次函数y=x2的性质,(2)顶点坐标与对称轴.,(1)位置与开口方向.,(3)增减性与最值.,课堂小结,1.二次函数y=x2图象的形状.,课本第3435页:习题2.2,布置作业,第二节二次函数的图象与性质(2),北师大版九年级数学下册,第二章二次函数,知识回顾,函数y=x和y=-x的图象,抛物线,抛物线,向上,向下,y轴,(0,0),y轴,(0,0),y=2x,y=-2x,画一画,在右图中画出y=2x2的图象.,y=x2,y=2x2,思考,二次函数y=2x的图象是什么形状?它与二次函数y=x的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和原点坐标分别是什么?,图象形状,开口方向,对称轴,顶点坐标,函数,y=2x,y=x,抛物线,向上,y轴,(0,0),抛物线,向上,(0,0),y轴,结论:,画一画,在右图中画出y=x2的图象.,思考,二次函数y=x的图象与y=x、y=2x的图象有什么相同和不同?,y=x2,抛物线,抛物线,抛物线,向上,向上,向上,y轴,y轴,y轴,(0,0),(0,0),(0,0),合作探究:,结论:a的绝对值越大,抛物线的开口越小.,问题:它们与二次函数y=x和y=2x的图象又有什么异同?,在下列平面直角坐标系中,作出y=-x及y=-2x的图象.,做一做,y=-x2,y=-2x2,抛物线,抛物线,抛物线,向上,向上,向下,y轴,y轴,y轴,(0,0),(0,0),(0,0),合作探究:,抛物线,向下,y轴,(0,0),函数y=3x及y=-3x的图象会有哪些特点?,抛物线,向上,y轴,(0,0),抛物线,向下,y轴,想一想:,(0,0),知识讲解,(1)y=ax2(a0)的图象是一条抛物线,y=ax2(a0)的图象有哪些特征?,(2)顶点坐标是(0,0),(3)对称轴是y轴(也可写作直线x=0),(4)当a0时,开口向上当a0时,开口向下,(5)随着的增大,开口将越来越小,二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同?,动手验证一下你的想法.,探究,你是怎么想的?,y=2x2,y=2x2+2,y=2x2-2,二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位,解析,二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位,探究,二次函数y=-3x2+,y=-3x2-的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?,解析,二次函数y=-3x2+由二次函数y=2x2的图象向上平移个单位,二次函数y=-3x2-由二次函数y=2x2的图象向下平移个单位,二次函数y=ax2(a0)的图象与y=ax2+c(a0)的图象有什么异同?,探究,y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的.当c0时,向上平移c个单位;当c0时,向下平移c个单位.,抛物线,a0向上a0向下,y轴,(0,0),抛物线,a0向上a0向下,y轴,(0,c),y=ax及y=ax+c(a0)的图象和性质,知识讲解,课堂练习,1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是().A.y=(x+2)2B.y=-x2+2C.y=-x2+2D.y=-(x-2)2,A,2.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是()A3B2C1D0,B,3坐标平面上有一函数y=24x248的图象,其顶点坐标为()A.(0,2)B.(1,24)C.(0,48)D.(2,48),C,4将抛物线y=x2+1向下平移2个单位,则此时抛物线的解析式是_,y=x2-1,5小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为,一辆小汽车速度为100km/h,在前方80m处停放一辆故障车,此时刹车有危险(填“会”或“不会”).,会,课堂小结,(1)y=ax2的图象是一条抛物线.,(2)其顶点坐标是(0,0).,(3)对称轴是y轴(也可写作直线x=0).,(4)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.随着a的增大,开口将越来越小.,1.y=ax2(a0)的图象的特征,2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a0)的图象的关系,y=ax2+c是由y=ax2的图象上下平移得到的当c0时,向上平移c个单位;当c0时,向下平移c个单位.,课本第36页:习题2.3,布置作业,第二节二次函数的图象与性质(3),北师大版九年级数学下册,第二章二次函数,知识回顾,1.函数的图象的顶点坐标是;开口方向是;最值是.,(0,3),小,向上,3,2.函数y=-2x2+3的图象可由函数的图象向平移个单位得到.,y=-2x2,上,3,3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_的图象.,y=-3x2-2,在同一坐标系中画出下列函数的图象:(1)y=2x2(2)y=2(x-1)2,探究,解:,(1)完成下表:,观察上表,你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系?,(2)在图中画出y=2x2与y=2(x-1)2的图象.,y=2(x-1)2,思考:它们的图象之间有什么关系?,议一议,(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系?,二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.,(2)二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口方向:向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标:(1,0),x=1,(3)二次函数y=2(x-1)2当x取何值时,y的值随x值的增大而增大?当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?,当x1时,y的值随x值的增大而增大;,当x1时,y的值随x值的增大而减小.,(4)你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗?,二次函数y=2(x+1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.,y=2(x+1)2,二次函数y=2x2,y=2(x-1)2,y=2(x+1)2的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度,就得到函数y=2(x-1)2的图像;将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度,就得到函数y=2(x+1)2的图像.,想一想,由二次函数y=2x2的图象,你能得二次函数y=2x2-,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2-的图象吗?,由二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度可得二次函数y=2x2-的图象.,由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象.,由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度,再向下平移个单位长度,能得二次函数y=2(x-3)2-的图象.,归纳总结,二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系?,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.,h0时,图象向左平移;h0时,图象向右平移.,k0时,图象向下平移;k0时,图象向上平移.,一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示:,练一练,1.对于二次函数y=-3(x+2)2.(1)它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度得到函数y=-3(x+2)2的图象.,二次函数y=-3(x+2)2的开口方向向下、对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,0).,对于二次函数y=-3(x+2)2.(2)当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?,当x-2时,y的值随x值的增大而增大;当x-2时,y的值随x值的增大而减小.,2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0,1)的是().A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-3,【解析】根据以直线x=2为对称轴可知选项A,C符合,再根据图象经过点(0,1)知选项C符合.,C,3.将抛物线向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为_.,4.将抛物线先向上平移2个单位,再向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式为_,或,D,向上,直线x=h,(h,k),向下,直线x=h,(h,k),1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.,2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.,课堂小结,课本第39页:习题2.4,布置作业,第二节二次函数的图象与性质(4),北师大版九年级数学下册,第二章二次函数,二次函数y=-2(x-3)2+5的开口,对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y有最值是;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小.它是由二次函数y=-2x2先向平移个单位长度,再向平移个单位长度得到的.,向下,直线x=3,(3,5),3,大,5,3,3,右,3,上,5,知识回顾,二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的开口,对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y有最值是;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小.,向上,直线x=h,(h,k),h,小,k,h,h,二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的开口,对称轴是,顶点坐标是,当x=时,y有最值是;当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小.,向下,直线x=h,(h,k),h,大,k,h,h,我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质,你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?,合作交流,请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式.,解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)2-2+5=2(x-1)2+3,知识讲解,例1:求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.,解析,要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.只需将它化为y=a(x-h)2+k的形式.,解:y=2x2-8x+7,=2(x2-4x)+7,=2(x2-4x+4)-8+7,=2(x-2)2-1,因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).,做一做,确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:(1)y=3x2-6x+7(2)y=2x2-12x+8,解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)-3+7=3(x-1)2+4因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).,(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)-18+7=2(x-3)2-11,因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-11).,例2:求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.,解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得:,y=ax2+bx+c,=ax2+2x+()2-()2+c,=a(x+)2+,=a(x2+x)+c,因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标为(-,).,求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式,探究,对于二次函数y=ax2+bx+c,,对称轴为:直线x=-,顶点坐标为(-,),1.如图2-6所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?,随堂练习,解(1)y=x2+x+10=(x+20)2+1左侧钢缆最低点坐标为(-20,1)钢缆最低点到桥面的距离是15=5(m),(2)左、右两侧抛物线关于y轴对称左、右两侧抛物线的最低点关于y轴对称左侧抛物线最低点坐标为(-20,1)右侧抛物线最低点坐标为(20,1)两条钢缆最低点之间的距离是205+205=200(m),解(1)y=2x2-12x+3=2(x-3)2-15对称轴:直线x=3顶点坐标:(3,-15),(2)y=-5x2+80 x-319=-5(x-8)2+1对称轴:直线x=8顶点坐标:(8,1),2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标(1)y=2x2-12x+3;(2)y=-5x2+80 x-319;(3)y=2(x-)(x-2);(4)y=3(2x+1)(2-x).,(3)y=2(x-)(x-2)=2(x)2-对称轴:直线x=顶点坐标:

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