上海市普陀区晋原中学2015-2016学年高二（上）期中数学试卷（解析版）VIP

2015-2016学年上海市普陀区晋原中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1已知an为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=2已知数列an的前n项和Sn=542n，则其通项公式为3已知an=（nN*），设am为数列an的最大项，则m=4在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线上5在等差数列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），则该数列的通项公式an=6若存在，则实数r的取值范围是7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为8已知数列an的通项公式为an=log3（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn4成立的最小自然数n等于9等比数列an的公比0q1，a172=a24，则使a1+a2+an+成立的正整数n的最大值为10数列an的通项公式an=，前n项和为Sn，则=11在等差数列an中，1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn取得最小正数的n=12设数列an的首项a1=，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ nN*）则满足的所有n的和为13意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an为“斐波那契数列”那么是斐波那契数列中的第项14已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列xn是一个公差为2的等差数列，满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，则x2015的值为二、选择题15在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是（）A0B0C0D016已知数列an的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有，其中Sn表示数列an的前n项和则=（）A0B1CD217某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜用an，bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为（）A300B350C400D45018数列an满足a1=1，记数列an2前n项的和为Sn，若对任意的nN* 恒成立，则正整数t的最小值为（）A10B9C8D7三、解答题19四面体ABCD的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值202014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%已知2014年销售利润平均每部为300元（）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少？（）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资，参考数据：0.960.53，0.970.47，0.980.43）21数列an的前n项和为Sn，a1=2，an+1=Sn+n（1）写出a2，a3，a4的值，并求an的通项公式；（2）正项等差数列bn的前n项和为Tn，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列（i）求数列bn的通项公式（ii）设Bn=+，试确定Bn与的大小关系，并给出证明22设函数f（n）=，an=f（1）+f（2）+f（3）+f（2n），（1）求a1，a2，a3的值（2）设bn=an+1an，写出bn与bn+1的递推关系，并求bn的通项公式（3）设数列cn的通项公式为cn=log2（3an2）10，nN*，数列cn的前n项和为Sn，问1000是否为数列cnSn中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由23（文）已知数列an的各项均为正数，a1=1，a2=m，且对任意nN*，都有数列an前n项的和Sn（1）若数列an是等比数列，求c的值和；（2）若数列an是等差数列，求m与c的关系式；（3）c=1，当n2，nN*时，求证：是一个常数2015-2016学年上海市普陀区晋原中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1已知an为等差数列，a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=15，则a3+a4=8【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】直接利用等差数列的性质，求出a3，a4，然后a3+a4的值【解答】解：an为等差数列，a1+a3+a5=9，可得a3=3，a2+a4+a6=15，可得a4=5，a3+a4=8故答案为：8【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力2已知数列an的前n项和Sn=542n，则其通项公式为【考点】数列的函数特性【专题】计算题【分析】由数列an的前n项和Sn=542n，利用公式直接求解【解答】解：a1=S1=5421=3，an=SnSn1=（542n）（542n+1）=22n当n=1时，故答案为：【点评】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用3已知an=（nN*），设am为数列an的最大项，则m=8【考点】数列的函数特性【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】把数列an=1+，根据单调性，项的符号判断最大项【解答】解：an=（nN*），an=1+根据函数的单调性可判断：数列an在1，7，8，+）单调递减，在1，7上an1，在8，+）上an1，a8为最大项，故答案为：8【点评】本题考查了数列与函数的结合，根据单调性求解，属于中档题4在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EH、FG相交于一点M，那么M一定在直线BD上【考点】平面的基本性质及推论【专题】空间位置关系与距离【分析】根据题意，可得直线EH、FG分别是平面ABD、平面BCD内的直线，因此EH、FG的交点必定在平面ABD和平面BCD的交线上而平面ABD交平面BCD于BD，由此即可得到点P在直线BD【解答】解：点E、H分别在AB、AD上，而AB、AD是平面ABD内的直E平面ABD，H平面ABD，可得直线EH平面ABD，点F、G分别在BC、CD上，而BC、CD是平面BCD内的直线，F平面BCD，G平面BCD，可得直线FG平面BCD，因此，直线EH与FG的公共点在平面ABD与平面BCD的交线上，平面ABD平面BCD=BD，点M直线BD故答案为：BD【点评】本题给出空间四边形，判断直线EH、FG的交点与已知直线BD的位置关系，着重考查了平面的基本性质和空间直线的位置关系判断等知识，属于基础题5在等差数列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），则该数列的通项公式an=2n+1【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式【解答】解：设等差数列an的公差为d，an+an+2=4n+6，an+2+an+4=4（n+2）+6，可得an+4an=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入an+an+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，通项公式an=3+2（n1）=2n+1故答案为：2n+1【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题6若存在，则实数r的取值范围是【考点】数列的极限【专题】等差数列与等比数列【分析】根据数列极限存在的条件，列出不等式，即可求得r的取值范围【解答】解：存在，0，3r2+4r+10且2r+10，r0，r1或r故答案为：【点评】本题考查极限性质及其运算，解题的关键是理解存在的条件，属于基础题7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想【分析】根据题意知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果【解答】解：连接DE，设AD=2易知ADBC，DAE就是异面直线AE与BC所成角，在RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3 cosDAE=，故答案为：【点评】此题是个基础题考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想8已知数列an的通项公式为an=log3（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn4成立的最小自然数n等于81【考点】数列与函数的综合【专题】转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用【分析】求得an=log3=log3nlog3（n+1），运用裂项相消求和求得Sn=log3（n+1），再由对数不等式的解法可得n的范围，进而得到n的最小值【解答】解：an=log3=log3nlog3（n+1），即有前n项和为Sn=log31log32+log32log33+log3nlog3（n+1）=log3（n+1），由Sn4，即为log3（n+1）4，解得n+181，即有n80，则n的最小值为81故答案为：81【点评】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查对数的运算性质和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题9等比数列an的公比0q1，a172=a24，则使a1+a2+an+成立的正整数n的最大值为18【考点】数列与不等式的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】求出数列的前n项和，根据不等式之间的关系即可得到结论【解答】解：设首项为a1，公比为q，依题意有（a1q16）2=a1q23，a1q9=1则a10，且a1=q9，an为等比数列， 是以为首项，为公比的等比数列则不等式等价为，0q1，把a1=q9，即a12=q18代入整理，得q18（1qn）q1n（1qn），q18q1n，181n，即n19，nN*，n的最大值为18故答案为：18【点评】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大10数列an的通项公式an=，前n项和为Sn，则=【考点】数列的极限【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】先利用裂项相消法求出Sn，再求极限即可【解答】解：Sn=1+=1+=，则=故答案为：【点评】本题考查数列极限的求法，属中档题，解决本题的关键是先用裂项相消法求和，再利用常见数列极限求解11在等差数列an中，1，若它的前n项和Sn有最大值，则使Sn取得最小正数的n=19【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】由题意可知，等差数列an中a10，公差d0，可将1转化为：0，于是a110，a100，由等差数列的前n项和公式可求得Sn取得最小正数的n【解答】解：等差数列an中，它的前n项和Sn有最大值，1，a10，公差d0，又将10，是a110，a100，a10+a110Sn=an2+bn中其对称轴n=10，又S19=19a100，而S20=0，1与19距离对称轴n=10的距离相等，S1=S19使Sn取得最小正数的n=1或n=19故答案为：1或19【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和公式，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题12设数列an的首项a1=，前n项和为Sn，且满足2an+1+Sn=3（ nN*）则满足的所有n的和为7【考点】数列递推式；数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】根据递推数列，得到数列an是公比q=，首项a1=的等比数列，解不等式即可得到结论【解答】解：2an+1+Sn=3，2an+2+Sn+1=3，两式相减得2an+2+Sn+12an+1Sn=0，即2an+2+an+12an+1=0，则2an+2=an+1，当n=1时，2a2+a1=3，则a2=，满足2a2=a1，即2an+1=an，则即数列an是公比q=，首项a1=的等比数列，则前n项和为Sn=33（）n，=1+（）n，若，则1+（）n，即（）n，则72n17，则n=3或4，则3+4=7，故答案为：7【点评】本题主要考查递推数列的应用，根据递推数列得到数列an是公比q=，首项a1=的等比数列是解决本题的关键13意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数；1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列an为“斐波那契数列”那么是斐波那契数列中的第101项【考点】数列递推式【专题】转化思想；等差数列与等比数列【分析】令a0=0，根据斐波那契数列的性质可得：那么=a101，即可得出【解答】解：令a0=0，根据斐波那契数列的性质可得：那么=a101，因此是斐波那契数列中的第101项故答案为：101【点评】本题考查了斐波那契数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列xn是一个公差为2的等差数列，满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0，则x2015的值为4011【考点】数列与函数的综合；数列的函数特性【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，则f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0所以f（a+3）=0=f（0），x8=3设数列xn通项xn=x1+（n1）x8=x1+14=3x1=17通项xn=2n19由此能求出x2015的值【解答】解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）f（a+2）f（a+4）f（a+6），f（a）0且f（a+6）0结合奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0f（a+3）=0=f（0），即a+3=0x8=3设数列xn通项xn=x1+2（n1）x8=x1+14=3解得x1=17通项xn=2n19x2015=2201519=4011故答案为：4011【点评】本题考查函数的性质和运用，考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对称性的合理运用二、选择题15在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是（）A0B0C0D0【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】由题意在正方体ABCDA1BC1D1中，点P在线段AD1上运动，根据A1BD1C，将CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，然后再求解【解答】解：A1BD1C，CP与A1B成角可化为CP与D1C成角AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，；故选D【点评】此题主要考查异面直线及其所成的角，解题的关键是CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，此题是一道好题16已知数列an的各项均为正数，满足：对于所有nN*，有，其中Sn表示数列an的前n项和则=（）A0B1CD2【考点】数列的极限；数列递推式【专题】计算题【分析】令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn4Sn1进行化简得anan1=2，从而得到数列an是等差数列，直接求出通项公式即可；进而求出结论【解答】解：4S1=4a1=（a1+1）2，a1=1当n2时，4an=4Sn4Sn1=（an+1）2（an1+1）2，2（an+an1）=an2an12，又an各项均为正数，anan1=2数列an是等差数列，an=2n1=故选：C【点评】本题主要考查了数列的递推关系，以及数列的极限解决本题的关键在于根据递推关系求出数列的通项17某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A，B两种菜可供选择调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%的人改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%的人改选A种菜用an，bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数，如果a1=300，则a10为（）A300B350C400D450【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列递推公式：，又an+bn=500，两式联立消去bn得数列an的递推公式，由a1=300可求得a2=300，从而可知a10值【解答】解：依题意得，消去bn得：an+1=an+150由a1=300，得a2=300，从而得a10=300故选A【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，属中档题18数列an满足a1=1，记数列an2前n项的和为Sn，若对任意的nN* 恒成立，则正整数t的最小值为（）A10B9C8D7【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式【专题】计算题；转化思想【分析】由题干中的等式变形得出数列是首项为1，公差为4的等差数列，得出an2的通项公式，证明数列S2n+1Sn（nN*）是递减数列，得出数列S2n+1Sn（nN*）的最大项，再由，求出正整数得m的最小值【解答】解：，（nN*），是首项为1，公差为4的等差数列，=1+4（n1）=4n3，an2=（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）=（an+12+an+22+a2n+12）（an+22+an+32+a2n+32）=an+12a2n+22a2n+32=0，数列S2n+1Sn（nN*）是递减数列，数列S2n+1Sn（nN*）的最大项为S3S1=a22+a32=，m又m是正整数，m的最小值为10故选A【点评】本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列S2n+1Sn（nN*）的最大值，证数列S2n+1Sn（nN*）是递减数列，证明方法：（S2n+1Sn）（S2n+3Sn+1）0是解题的关键三、解答题19四面体ABCD的棱长均为a，E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线AF与CE所成的角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化为一个三角形的内角来计算【解答】解：由题意可得四面体ABCD为正四面体，如图，连接BE，取BE的中点K，连接FK，则FKCE，故AFK即为所求的异面直线角或者其补角设这个正四面体的棱长为2，在AKF中，AF=CE，KF=CE=，KE=，AK= AKF中，由余弦定理可得 cosAFK=【点评】本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧202014年，中国联想集团以28亿元收购摩托罗拉移动公司，并计划投资30亿元来发展该品牌；2014年摩托罗拉手机的销售量为100万部据专家预测，从2015年起，摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，每年的销售利润比上一年减少10%已知2014年销售利润平均每部为300元（）若把2014年看做第一年，第n年的销售利润为多少？（）到2020年年底，中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利？（即销售利润超过总投资，参考数据：0.960.53，0.970.47，0.980.43）【考点】数列的应用【专题】应用题；等差数列与等比数列【分析】（）仔细阅读题意得出机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列求出关于n的通项公式即可得出第n年的销售利润（II）运用导数得出S=30000（1+20.9+30.92+40.93+50.94+60.95+70.96）再运用错位相减法求解即可【解答】解：（）摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加100万部，因此手机的销售量构成了首项为100，公差为100的等差数列an=100n，手机销售利润按照每年比上一年减10%，因此每部手机的销售利润构成首项为300，公比为0.9的等比数列第n年的销售利润记为cn，则（）到2020年年底，设销售利润总和为S万元，则S=30000（1+20.9+30.92+40.93+50.94+60.95+70.96），0.9S=30000（10.9+20.92+30.93+40.94+50.95+60.96+70.97）得S=30000（1001700.97）603000万元=60.3亿元 而总投资为28+30=58亿元，60.358，可以盈利答：（）第n年的销售利润为30000n0.9n1万元；（）到2020年年底，中国联想集团能通过摩托罗拉手机实现盈利【点评】本题考察了等差，等比数列的定义，通项公式，前n项和的求解，错位相减法的运用，考察了，阅读分析，计算化简能力21数列an的前n项和为Sn，a1=2，an+1=Sn+n（1）写出a2，a3，a4的值，并求an的通项公式；（2）正项等差数列bn的前n项和为Tn，且T3=9，并满足a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列（i）求数列bn的通项公式（ii）设Bn=+，试确定Bn与的大小关系，并给出证明【考点】数列递推式；数列的求和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）由a1=2，an+1=Sn+n，可得a2=a1+1=3，同理可得a3=7，a4=15当n2时，an=Sn1+（n1），可得an+1an=an+1，变形为an+1+1=2（an+1），即可得出（2）（i）设正项等差数列bn的为d0，由T3=9，可得3b2=9，解得b2由于a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列，可得=（a1+b1），（3+3）2=（2+3d），代入解出即可得出d（ii）=利用“裂项求和”与不等式的性质即可证明【解答】解：（1）a1=2，an+1=Sn+n，可得a2=a1+1=3，同理可得a3=7，a4=15当n2时，an=Sn1+（n1），an+1an=an+1，变形为an+1+1=2（an+1），当n2时，数列an+1是等比数列，首项为4，公比为2an+1=42n2，化为an=2n1an=（2）（i）设正项等差数列bn的为d0T3=9， =3b2=9，解得b2=3a1+b1，a2+b2，a3+b3，成等比数列，=（a1+b1），（3+3）2=（2+3d），化为d2+12d13=0，解得d=1或d=13（舍去）bn=b2+（n2）=3+n2=n+1（ii）=Bn=+=，Bn【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“裂项求和”方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22设函数f（n）=，an=f（1）+f（2）+f（3）+f（2n），（1）求a1，a2，a3的值（2）设bn=an+1an，写出bn与bn+1的递推关系，并求bn的通项公式（3）设数列cn的通项公式为cn=log2（3an2）10，nN*，数列cn的前n项和为Sn，问1000是否为数列cnSn中的项？若是，求出相应的项数，若不是，请说明理由【考点】数列与函数的综合【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】（1）由函数f（n），结合an，可得a1，a2，a3；（2）由题意，得an+1=f（1）+f（2）+f（3）+f（2n）+f（2n+1）+f（2n+1），作差，得an+1an，由函数解析式结合等差数列的求和公式计算可求得结果；（3）由an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1），运用等比数列的求和公式可得an，cn，再由等差数列的求和公式，再由cnSn，即可判断1000是否在其中【解答】解：（1）由函数f（n）=，an=f（1）+f（2）+f（3）+f（2n），得a1=f（1）+f（2）=1+f（1）=2；a2=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+1+3+f（2）=5+