专题05 泰勒公式及其应用

1 专题 五 泰勒公式及其应用 (一) 泰勒公式 定理 1（皮亚诺型余项泰勒公式） 如果)(xf在点 0 x有直至n阶的导数，则有 ,)()( ! 1 )( ! 2 1 )()()( 000 )(2 00000 nnn xxoxxxf n xxxfxxxfxfxf+ +=L 常称 n n xxoxR)()( 0 =为皮亚诺型余项. 若0 0 =x，则得麦克劳林公式： ).()0( ! 1 )0( ! 2 1 )0()0()( )(2nnn xoxf n xfxffxf+ +=L 定理 2（拉格朗日型余项泰勒公式） 设函数)(xf在含有 0 x的开区间),(ba内有1+n阶的导数，则当),(bax时有 2 00000 )( ! 2 1 )()()(xxxfxxxfxfxf += ),()( ! 1 00 )( xRxxxf n n nn +L 其中 1 0 )1( )( 1 )( )( + + )!+( = n n n xx n f xR ，这里介于 0 x与x之间，称为拉格朗日型余项. 几个常用的泰勒公式 )( ! 2 1) 1 ( 2 n n x xo n xx xe+=L )( )!12( ) 1( ! 3 sin)2( 12 12 1 3 + += n n n xo n xx xxL )( )!2( ) 1( ! 2 1cos) 3( 2 22 n n n xo n xx x+=L )() 1( 2 )1ln()4( 1 2 n n n xo n xx xx+=+ L )( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ()5( 2nn xx n n xxx + + + +=+ L L (二) 泰勒公式本质及两个泰勒公式的异同点 V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 2 1. 本质（相同点） 1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系 1）用多项式逼近函数 2) 用已知点信息表示未知点 3) 建立函数与高阶导数的关系 2. 不同点 1）条件不同 1）条件不同 皮亚诺型余项： )(xf在点 0 x有直至n阶的导数 拉格朗日型余项：)(xf在含有 0 x的开区间),(ba内有1+n阶的导数 2）余项不同 2）余项不同 皮亚诺型余项： n n xxoxR)()( 0 =；定性；局部. 拉格朗日型余项： 1 0 )1( )( 1 )( )( + + )!+( = n n n xx n f xR ；定量；整体. (三) 泰勒公式的应用 1.利用高阶导数研究函数性态 1.利用高阶导数研究函数性态 【例 1】若, 0)()()( 0 )1( 00 = = xfxfxf n L)2(0)( 0 )( nxf n ，则当n为偶数 时)(xf在 0 x处有极值.其中0)( 0 )( xf n 时极小，0)( 0 )( xf n 时极大；当n为奇数时 )(xf在 0 x处无极值. 【例 2】设函数)(xf在 1 , 0上二阶可导， 且, 1)(, 0)0(, 1)0( =xfff试证：)(xf 在 1 , 0上的最大值不超过. 2 3 V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 3 2.计算函数近似值 2.计算函数近似值 【例 1】计算e的近似值，使误差不超过.10 6 【解】 )( ! 2 1 2 xR n xx xe n n x +=L 1 1 )!1()!1( )( + + + xxxf. 【例 2】 （1996 年 1,2）设)(xf在0,1上具有二阶导数,且满足条件 axf | )(|,bxf | )(|,其中ba,都是非负常数,c是(0,1)内任一点. （1）写出)(xf在点c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式； （2）证明 . 2 2| )(| b acf+ 【证】 （1） 2 )( ! 2 )( )()()(cx f cxcfcfxf += （2）在以上泰勒公式中，分别令0=x和1=x则有 2 1 )0( ! 2 )( )0)()()0(c f ccfcff += （1） 2 2 )1 ( ! 2 )( )1)()() 1 (c f ccfcff += （2） （2）式减（1）式得 )()1)( 2 1 )()0() 1 ( 2 1 2 2 cfcfcfff += | )(|)1 ( | )(| 2 1 ) 1 ()0(| )(| 2 1 2 2 cfcfffcf + + )1( 2 2 22 cc b a+ V研客，制胜考研 扫描右方二维码 关注微信公众号“V研客考研在线”即可领取免费大礼包 V研客官网： 5 又因为当) 1 , 0(c时，, 1)1 ( 22 +cc故. 2 2| )(| b acf+ 【例 3】 （1999 年 2）设函数)(xf在闭区间 1 , 1上具有三阶连续导数，且0) 1(=f， 1) 1 (=f，0)0(= f ，证明：在开区间) 1 , 1(内至少存在一点，使3)(= f. 【证】 由麦克劳林公式得 32 )( ! 3 1 )0( ! 2 1 )0()0()(xfxfxffxf + +=， 其中介于0与x之间， 1 , 1x. 分别令1=x和1=x，并结合已知条件，得 01),( 6 1 )0( 2 1 )0() 1(0 11 +=ffff . 10),( 6 1 )0( 2 1 )0() 1 (1 22 +xxxx 2. 设)(xf在,ba上 连 续 ， 在),(ba内 二 阶 可 导 ， 试 证 存 在),(ba， 使 )( 4 )( )() 2 (2)( 2 f ab af ba fbf =+ + . 3. 设)(xf三 阶 可 导 , 且0 )( lim, 1) 1 (, 0) 1( 0 = x xf ff x , 试 证 存 在) 1 , 1(,