飞行器结构动力学-第3章-二自由度系统的振动

,飞行器结构动力学,主讲教师文立华,西北工业大学航天学院飞行器设计工程系,第3章二自由度系统的振动,西北工业大学,第3章二自由度系统的振动,飞行器结构动力学,第3章二自由度系统的振动,3.3无阻尼动力吸振器,3.2二自由度系统的强迫振动,3.4离心摆式吸振器,3.1二自由度系统的自由振动,第3章二自由度系统的振动,3.1二自由度系统的自由振动,3.1二自由度系统的自由振动,如图3-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统。,多自由度系统的基本概念都可以通过二自由度系统的问题说明，本章专门讨论二自由度系统的自由振动与强迫振动。,图3-1二自由度系统模型,对质量m1、m2绘分离体图（如图3-1b），用牛顿第二定律列分离体在水平方向方程得,(3-1),整理得,(3-2),3.1二自由度系统的自由振动,(3-2),由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入,(3-3),常数矩阵m，c和k分别称为质量、阻尼、刚度矩阵。,3.1二自由度系统的自由振动,(3-4),和分别称为二维位移向量和力向量。,（3-5）,由(3-3)可见质量，阻尼，刚度矩阵的非对角线元素满足,(3-6),所以，方程(3-2)可以写成矩阵形式,3.1二自由度系统的自由振动,表明质量、阻尼、刚度矩阵是对称阵，可描述为,(3-7),此处T表示矩阵转置，只有当m，c，k均为对角阵时，方程(3-5)才描述一组相互独立的方程。,本章首先讨论当为零时自由振动情况，然后讨论为简谐激振力的情况。,3.1二自由度系统的自由振动,时，方程(3-2)变为,(3-8),上式为一组二阶常微分方程。由(3-3)可见,(3-9),(3-8)式可重写为,(3-10),若和为方程的一组解，那么和也是系统的一组解，这里为任意常数。,3.1二自由度系统的自由振动,当系统没有阻尼和外部激振力时，也即,和,下面我们试图寻求(3-10)式的一种特殊类型的解的存在性，这种解为与随时间有相同的规律性。如果这一类型的解存在，那么必然为一不随时间变化的常数。设与随时间的变化规律为，所要寻求的解可表示为,(3-11),这里u1，u2为幅值常数，将(3-11)代入方程(3-10)可得,(3-12),3.1二自由度系统的自由振动,要使(3-12)有解，则必须,(3-13),由于为实常数，所以这里也是实常数。因此只要,(3-14),并且,(3-15),有解。,3.1二自由度系统的自由振动,设方程(3-14)有指数形式的解,(3-16),代入(3-14)，得s必须满足下面的方程,(3-17),s有两个解,这样解(3-16)变为,(3-18),(3-19),3.1二自由度系统的自由振动,不难证明是正实数值。如果取负值，那么当t，(3-19)式中的f(t)第一项以指数规律趋于无穷，第二项趋于零，这与所讨论的系统为保守系统的概念相矛盾。,因此，应取正值，设=2，为实数。方(3-18)变为,(3-19)式的解相应地变为,(3-21),这里A1和A2一般为复常数。,(3-20),3.1二自由度系统的自由振动,利用和与和的关系,另外引入下面的表达式,(3-22),可得,(3-23),(3-24),解(3-23)变为,(3-25),这里C为一任意常数，为简谐运动的频率，为简谐运动的相角。,3.1二自由度系统的自由振动,讨论的取值。在方程(3-15)中令，得,(3-26),上式的未知数为和，为参数，(3-26)有解的条件是,(3-27),其中称为特征行列式。展开得,(3-28),上式称为特征方程或频率方程。,3.1二自由度系统的自由振动,方程的两个根为,(3-29),上式表明只有两种模式（对应频率和）的同步运动可能发生。和称为系统的自然频率。,3.1二自由度系统的自由振动,最后确定常数和的值，和的值与自然频率和有关。将对应于的值表示成和，对应于的值表示成和，将和代入方程(3-26)可得,(3-30a),(3-30b),3.1二自由度系统的自由振动,和可表示为,(3-31a),(3-31b),和称为模态向量，由自然频率和模态向量构成系统的一阶振动模态，而和构成系统的二阶振动模态。,3.1二自由度系统的自由振动,回到方程(3-11)和(3-25)，系统随时间的运动写成矩阵形式有,(3-32),(3-33),其中常数C1、C2和相角、由系统的初始条件决定。,系统任意时刻的运动即,3.1二自由度系统的自由振动,例3-1考虑图3-1所示的系统，设，并设，求系统的自然模态。,3.1二自由度系统的自由振动,图3-1二自由度系统模型,由方程(3-28)，系统的频率方程为,（a）,其根为,(b),解：由式(3-9)可得刚度矩阵的元素为,3.1二自由度系统的自由振动,系统的自然频率为,(c),将和代入方程(3-30)式，得,(d),则自然模态向量为,(e),3.1二自由度系统的自由振动,将模态形状绘图如图3-2所示注意到第二阶模态有一个位移为零的点，此点称为节点。,图3-2模态振型图,3.1二自由度系统的自由振动,例3-2如图3-3所示，为一理想化的汽车简化模型，将车体视为刚体，总质量为m，质心C距弹簧k1、k2的距离分别为a,b。k1、k2为悬架系统的刚度。车体对质心C的转动惯量为IC，图3-3b为系统的分离体图，运动位移为车体质心C点的垂直运动x（t）和绕C点的转动（t）。由系统的静平衡位置计起。,3.1二自由度系统的自由振动,图3-3汽车简化模型之一,解：有两个运动方程，一个相应于横向位移x（t），一个相应于转动运动（t），由图3-3b，在垂直方向的力平衡方程为,(3-34a),对C点力矩平衡方程为,(3-34b),整理可得,(3-35),写成矩阵形式为,(3-36),3.1二自由度系统的自由振动,下面用一组新的坐标系来导出系统的运动方程，为此，设车体上存在一点O，若在O点作用一垂直方向的力，此时，车体在垂直方向的唯一占主导地位，因而假设只有垂直方向的位移，无偏转运动。,设O距弹簧k1，k2的距离分别为a1，b1，设x1表示O点的横向位移，则有对点的力矩平衡方程k1x1a1=k2x1b1或k1a1=k2b1。以x1和（t）为坐标，分离体图如图3-4b。,3.1二自由度系统的自由振动,图3-4汽车简化模型之二,3.1二自由度系统的自由振动,系统的运动方程如下,(3-37),(3-38),其中IO为车体对O点的转动惯量。设a1a=e，注意到上式可简化为,图3-4汽车简化模型之二,写成矩阵形式有,(3-39),3.1二自由度系统的自由振动,图3-4汽车简化模型之二,对比(3-36)和(3-39)发现，用不同的坐标系，系统的耦合是不同的:,在方程(3-36)中，用质心坐标x和绕质心转角时，系统通过刚度项耦合，这种耦合称为静力耦合或弹性耦合。,而在方程(3-39)中系统通过惯性项耦合，这种耦合称为动力耦合或惯性耦合。很明显系统耦合的性质取决于所选的坐标系，而并非系统的基本性质。,3.1二自由度系统的自由振动,(3-39),(3-36),现在的问题是，是否存在一种系统坐标q1（t）和q2（t），当使用此坐标系时，系统方程既无静力耦合，又无惯性耦合。下面将会看到，这类坐标系的确存在，并将其称为自然坐标或主坐标。,3.1二自由度系统的自由振动,现在的问题是，是否存在一种系统坐标q1（t）和q2（t），当使用此坐标系时，系统方程既无静力耦合，又无惯性耦合。下面将会看到，这类坐标系的确存在，并将其称为自然坐标或主坐标。,对(3-10)式表示的二自由度系统的运动方程，将其解表示成以下形式,其中r1，r2为由(3-30)式表示的,。,(3-40),这里用(3-40)的形式似乎是一种人为的设计，但到下一章将会看到它的逻辑性和合理性。,(3-10),3.1二自由度系统的自由振动,将(3-40)代入(3-10)，得,(3-41a),(3-41b),将(3-41a)乘以m2r2，(3-41b)乘以m1，两式相减得,(3-42a),再给(3-41a)乘以m2r1，(3-41b)乘以m1，由第二式减去第一式得,(3-42b),将(3-30)式代入(3-42)，可简化为,3.1二自由度系统的自由振动,(3-43),与(3-10)式比较，发现以q1(t)和q2(t)为坐标的方程(3-43)无耦合项，是完全相互独立的。,像q1(t)和q2(t)这样的能使系统运动方程相互独立的坐标系称为自然坐标或主坐标。,方程(3-43)的解为,(3-44),将(3-44)代入(3-40)得,(3-45),3.1二自由度系统的自由振动,其中和为模态向量，振幅C1和C2以及相角1和2由初始条件决定，方程(3-46)与(3-33)完全相同。说明系统在任意时刻的运动是自然振型与相应模态响应乘积的叠加。,(3-46),写成矩阵形式,3.1二自由度系统的自由振动,例3-3对于例3-2讨论的简化汽车模型，设系统参数的取值为：m1200kg，IC=2500kgm2，k1=28000N/m，k2=32000N/m，a=1.5m，b=2.0m，试确定系统的主坐标。,要确定系统的主坐标，必须首先确定系统的自然模态，将上述参数代入方程(3-36)得,(a),解：,相应的特征值问题为,(b),3.1二自由度系统的自由振动,(c),其解为,(d),系统的自然频率为16.70rad/s和29.03rad/s。,将12代入方程(b)的第一行，得,得到,(e),3.1二自由度系统的自由振动,再将代入方程(b)的第一行，得到,由此得到,(f),系统的自然模态为,(g),将方程(e)和(f)代入(3-40)，其中，得到,(h),将上式代入运动方程(a)，并经过(3-41)和(3-42)的步骤后，可简化得到如下的以自然坐标表示的相互独立的系统运动方程,3.1二自由度系统的自由振动,(i),因此，方程可以分别求解，其解为,(j),系统的运动可表示为,(k),前面已经提到，二自由度系统自由响应解的幅值C1和C2以及相角1和2取决于系统的初始条件。,3.1二自由度系统的自由振动,(3-47),设系统的初始条件为,，,将初始条件代入方程(3-45),得,(3-45),3.1二自由度系统的自由振动,(3-47)是关于4个未知，的代数方程，其解为,(3-48),3.1二自由度系统的自由振动,由(3-48)可解出,(3-49),方程(3-45)和(3-49)完全确定了系统对于初始条件的响应。,3.1二自由度系统的自由振动,例3-4对于例3-1所示的系统，当初始条件为时，求系统的自由响应。,3.1二自由度系统的自由振动,由(e)式可知，将这些参数连同初始条件一并代入(3-49)式，得,(a),解：由例3-1的(c)式可知,3.1二自由度系统的自由振动,将(a)代入(3-45)得系统对初始条件的响应为,(b),3.1二自由度系统的自由振动,分析如图3-5（a）所示的系统，两个完全相同的单摆通过弹簧k相连。相应的分离体如图3-5b所示。设1,2很小。系统的运动方程由绕O与O的力矩平衡方程得到。,拍振现象,3.1二自由度系统的自由振动,图3-5拍振现象模型,(3-50),写成矩阵形式有,(3-51),由上式可见系统为静力耦合，当弹簧k减小到零时，系统的耦合消失，成为两个独立的单摆，其自然频率为，当时，方程(3-51)的特征值问题为,(3-52),3.1二自由度系统的自由振动,其特征方程为,即,(3-53),(3-54),系统的两个自然频率为,(3-55),3.1二自由度系统的自由振动,系统的自然模态由下式得到,(3-56),将(3-55)式的值代入上式，求解得,(3-57),3.1二自由度系统的自由振动,在第一阶模态，弹簧k不变形，两个摆同步运动，系统就像一个单摆一样。事实上，系统的第一阶自然频率与单摆的自然频率是相同的。第二阶模态时，两摆的运动有180的相位差，即反向运动。两阶模态如图(3-6)所示,3.1二自由度系统的自由振动,图3-6耦合的双摆的振型,由前面所述可知，系统运动可表示为两个自然模态与相应的自然坐标的叠加。,(3-58),将(3-57)代入(3-58)得,(3-59),(3-60),3.1二自由度系统的自由振动,当与相比很小时，相当于系统的耦合很弱。此时(3-60)式可写为,(3-61),这里和近似为,(3-62),3.1二自由度系统的自由振动,可见和为角频率为的简谐函数，其幅值分别以和慢慢变化。和随时间的变化如图3-7所示。图中其慢变的幅值用虚包络线表示。,3.1二自由度系统的自由振动,图3-7拍振响应示意图,这一现象表明，如果两相同幅值和相近频率的简谐函数相加，结果为频率为两频率均值的调幅简谐函数，当两简谐量互相加强时，合成函数的幅值为单个简谐量的两倍，随后当两简谐量相互抵消时，合成量的幅值减小到零。这种现象称为拍振。调幅频率称为拍频。,3.1二自由度系统的自由振动,第3章二自由度系统的振动,3.2二自由度系统的强迫振动,3.2二自由度系统的强迫振动,回到(3-5)表示的有阻尼二自由度系统，并将其改写为,(3-63),设简谐激振力为,(3-64),相应的系统的稳态解可表示为,(3-65),其中，X1，X2一般为与激振力频率和系统参数有关的复数。,简谐激励下的二自由度系统的强迫振动响应,将(3-64),(3-65)式代入(3-63)式，得两个代数方程,(3-66),引入表达式,(3-67),这里函数称为机械阻抗，(3-50)可以改写成比较紧凑的矩阵形式,(3-68),其中称为阻抗阵，为位移幅值列向量，为激振力幅值列向量。,3.2二自由度系统的强迫振动,解(3-68)得,(3-69),其中,(3-70),由此得,(3-71),3.2二自由度系统的强迫振动,当系统无阻尼且时，方程(3-67)变为,(3-72),将方程(3-72)代入(3-71)中，可得,(3-73),对于一组给定的系统参数，由(3-73)式可给出系统相应幅值随激振频率的变化曲线频响曲线。,3.2二自由度系统的强迫振动,例3-5考虑例3-1的系统，绘制系统的频响曲线。,用例3-1的参数，方程(3-73)变为,(a),式(a)中，和表达式的分母为特征行列式,(b),其中,(c),解：,3.2二自由度系统的强迫振动,为系统自然频率的平方，这样(a)式可以写为如下形式,(d),系统的频响曲线，即和随的变化曲线如图3-8。,3.2二自由度系统的强迫振动,图3-8频率响应的曲线,第3章二自由度系统的振动,3.3无阻尼动力吸振器,3.3无阻尼动力吸振器,当单自由度系统的质量和弹簧刚度无法改变时，为减小系统由于受到和其本身自然频率相同的简谐力的频率时引起的共振，可附加第二个质量和弹簧减小振动，使系统变为二自由度系统，如图3-8a可见二自由度系统质量m1的振幅的确存在一个幅值为零的点，因此良好的设计，可使原系统的振幅减小。,图3-8频率响应的曲线,3.3无阻尼动力吸振器,现看图3-9所示的系统，原系统为单自由度系统，称为主系统，由质量m1和弹簧k1组成。附加系统称为吸振器，由质量m2和弹簧k2组成，合成系统的运动方程为,(3-74),图3-9无阻尼动力吸振器模型,将(3-75)式代入(3-74)式，得关于X1，X2的一组代数方程，写成矩阵形式有,(3-76),设(3-74)式的解有如下形式,(3-75),(3-74),3.3无阻尼动力吸振器,上式的解为,(3-77),为单独主系统的自然频率，,为单独吸振器的自然频率，,为主系统的静变形，,为吸振器质量和主系统质量之比。,3.3无阻尼动力吸振器,习惯上引入以下符号：,(3-78a),(3-78b),由(3-78a)式可见，当时，主系统的振幅X1为零，可见吸振器是能起到吸振作用的。,(3-79),将(3-79)式代入(3-75)的第二式得,(3-80),用上页符号改写式(3-77)得,3.3无阻尼动力吸振器,当时，吸振器质量m2的振幅为,由此得到吸振器弹簧的力为,(3-81),可见吸振器作用于主系统上的力完全平衡了主系统受到的力。只要吸振器的自然频率与激振力的频率相同，任何一个吸振器均能起到减振作用，因此，吸振器的参数选取范围较宽。,3.3无阻尼动力吸振器,从图3-10可看出，阴影线部分为吸振器的设计范围，在此范围内，吸振效果是满意的。,3.3无阻尼动力吸振器,图3-10动力吸振器工作范围示意图,动力吸振器的最大缺点是：将系统自由度由一个增加到两个，使系统的的共振频率增加。如果想减小系统在一阶共振频率时的振动可适当增加系统的阻尼。,例3-6装在梁上的转动机器（图3-11），由于转子的不平衡，在1450r/min时，发生剧烈的上下振动。建议在梁上安装动力吸振器，试求吸振器弹簧系数ka与质量ma，已知不平衡力的最大值F为117.7N，并要求吸振器质量的振幅不超过0.1cm。,3.3无阻尼动力吸振器,图3-11装在梁上的转动机器,吸振器弹簧系数为,