飞行器结构动力学-第2章

第2章单自由度系统的振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.3单自由度系统的工程应用,2.4阻尼理论,第2章单自由度系统的振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,第2章单自由度系统的振动,构成离散模型的元素,2.1单自由度系统的自由振动,弹性元件弹簧,最典型的弹性元件，假定无质量线性弹簧:x2-x1较小时，Fsk(x2-x1)k:弹簧常数或弹簧刚度，单位（N/m）,2.1单自由度系统的自由振动,如无特别说明，本课程所说的阻尼均指粘性阻尼阻尼力粘性阻尼系数：比例系数c，单位（N-s/m）阻尼器通常用c表示。线性模型,2.1单自由度系统的自由振动,惯性元件,2.1单自由度系统的自由振动,离散系统的质量元件，惯性力质量m：比例系数，单位（kg）。,弹性元件的组合,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,系统以固有频率n作简谐振动，称为简谐振荡器相位角：位移从初始值达到最大值的时间。无能量损耗，运动会持续下去（保守系统）,响应曲线,例2-1半径为R的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振动频率。,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,系统作简谐振动,令,那么,采用瑞雷法时，假定振动形式越接近实际情况，结果越准确,（弹簧并联）,2.1单自由度系统的自由振动,系统的通解,2.1单自由度系统的自由振动,系统的通解:,（2-22）,（2-19）,（2-21）,系统的通解,2.1单自由度系统的自由振动,z的影响,过阻尼(1),（2-22）,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,指数衰减的响应。,有重根，s1=s2=n,（2-23）,由表达式=1时，,临界阻尼（=1）,（2-20）,临界粘性阻尼,所以zc/ccr,2.1单自由度系统的自由振动,1,临界阻尼是1和1的分界点，=1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度最大。,=1也是系统振动与非振动运动的临界点。,=1,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,有阻尼自由振动频率：,由于:,（2-25）,（2-24）,弱阻尼（01）,2.1单自由度系统的自由振动,01时的响应曲线,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,观察（2-29）式的指数关系，可以引入对数衰减率:,（2-30）,要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的对应点x1和x2，计算对数衰减率,（2-31）,2.1单自由度系统的自由振动,对于微小阻尼情况,（2-32）,值得注意的是，可以通过测量相隔任意周期的两对应点的位移，来确定。设、为、对应的时间，为整数，则,（2-33）,（2-34）,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,2.1单自由度系统的自由振动,可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到,2.1单自由度系统的自由振动,第2章单自由度系统的振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,系统对外部激励的响应称为强迫振动。,对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。,自由振动依靠系统自身弹性恢复力维持。强迫振动是由外部持续激励引起的。强迫振动从外界或得能量来补充阻尼的消耗，以维持等幅振动,持续激振力,持续支承运动,（2-41）,2.2单自由度系统的强迫振动,（2-42）,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,等于激励频率,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,由（2-51）式，可见的模等于响应幅值和激励幅值的无量纲比，即,称为幅值因子或振幅放大因子。,（2-53）,（2-52）,这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励的无量纲比。这里中的是由静平衡位置算起的。,由（2-50）、（2-51）式,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,幅频响应曲线,阻尼使系统的振幅值减小，阻尼使峰值相对于w/wn=1的位置左移。,对(2-53)求导，并令其等于零，得到幅值最大点的,（2-54）,=0时,系统就是简谐振子。,当驱动频率=n时共振。,/n1，|H(w)|0。z=c/2mwn=c/ccr,系统实际阻尼与临界阻尼之比。共振区附近阻尼作用显著，远离共振区，作用很小。,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,阻尼大，带宽就宽；过共振点时振幅变化平缓，振幅较小。阻尼小，带宽就窄；过共振点时振幅变化陡，振幅较大。Q反映了系统阻尼的大小，及共振峰的陡峭程度。机械系统中，为平稳通过共振，希望Q值小些（阻尼大些）。,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,对于简谐振动，当n时，x。,（2-61）,2.2单自由度系统的强迫振动,无阻尼,2.2单自由度系统的强迫振动,考虑摩擦阻尼的SDOF自由振动,常见，非线性,fskxfdmmg（与运动方向相反）,令,2.2单自由度系统的强迫振动,解：设初始位移足够大，弹簧恢复力超过静摩擦力，开始运动。,1）x(0)=x0,v(0)=0.运动从右向左。vsqrt(2),振幅小于基础运动振幅，阻尼大的系统振幅反而大支承运动还可以用速度或加速度表达。,2.2.2系统对周期激励的响应,在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。F(t)=F(t+kT),k=1,2,3.，可以写成,（2-72）,（2-73）,2.2单自由度系统的强迫振动,系统运动方程,a0是常力，只影响系统的静平衡位置，只要坐标原点取在静平衡位置，该项就不会出现。系统响应分为：齐次解/瞬态解，非齐次解/稳态解稳态响应,2.2单自由度系统的强迫振动,当某个pw0接近系统的自然频率wn时，响应中此简谐分量将占主导地位。当pw0=wn时，发生共振，即周期激励也可激起系统共振。,2.2单自由度系统的强迫振动,若z较小，可近似看成无阻尼,例：某仪器质量500kg，用4个刚度为323.4N/cm的弹簧支撑，若地基运动为两个垂直正弦波的合成，振幅均为1微米，频率分别为f1=3Hz,f2=15Hz，设仪器允许的振动速度为v=0.05mm/s，求设备最大振动速度，是否满足要求。,解,2.2单自由度系统的强迫振动,激励为正弦波，响应也为正弦函数,无阻尼,必须调整弹簧刚度，降低固有频率，增加l1,l2,减小,2.2.3非周期激励的响应,在非周期激励的情况下，响应将不再是“稳态”的，而是“非稳态”的。求解系统在非周期激励下瞬态响应的方法有多种将激励描述成一系列脉冲，通过求各个脉冲的响应，然后叠加来求解系统的瞬态响应是常见的方法之一。,单位脉冲函数,当时,（2-82）,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,（2-86）,表示在区间内系统速度的变化。由于脉冲作用时间极短，系统在瞬间不可能获得位移增量，即。,（2-87）,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,（2-92）,2.2单自由度系统的强迫振动,（2-93）,初始条件静止下的响应。根据卷积的性质，可写成另一种形式,（2-94）,2.2单自由度系统的强迫振动,杜哈默积分,单位脉冲响应,（2-92）,2.2单自由度系统的强迫振动,阶跃响应,单位阶跃函数,（2-95）,函数在t=a处不连续，在此点处，函数值由0变为1。如果不连续点在t=0，则单位阶跃函数用u(t)表示。,单位阶跃函数与单位脉冲函数有密切关系,（2-96）,反过来有,（2-97）,2.2单自由度系统的强迫振动,杜哈默积分法是时域法求解一般激励的响应。Fourier变换法频域法。,2.2单自由度系统的强迫振动,Fourier变换法,周期激励：将激振力用傅立叶级数展开，分别对各阶谐波进行响应分析，然后线性叠加。一般激励：采用傅立叶变换，将一般激振力作付氏变换。,付氏正变换,时域频域,付氏逆变换,频域时域,付氏变换对,频谱图是连续曲线,谱函数,付氏变换的性质,2.2单自由度系统的强迫振动,基本公式,2.2单自由度系统的强迫振动,注,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,例：无阻尼单自由度系统在矩形冲击载荷作用下振动，求响应及其频谱图。,激振力的付氏变换。,位移响应,系统频响函数,位移响应的时间历程,2.2单自由度系统的强迫振动,付氏逆变换,查表,零初始状态下的时间响应,位移响应的时间历程,2.2单自由度系统的强迫振动,或,t,2.2单自由度系统的强迫振动,Laplace变换法频域法。对于复杂激励求解较方便。,拉氏变换,拉氏域/s域,重要性质,2.2单自由度系统的强迫振动,常用公式,2.2单自由度系统的强迫振动,拉氏变换法求解一般激励的响应。,对方程作拉氏变换。,拉氏域,令,逆变换,时域,2.2单自由度系统的强迫振动,应用卷积公式,将函数化为标准形式后，查表得到逆变换,查表,杜哈默积分！,初始扰动的自由响应,零初始条件响应,2.2单自由度系统的强迫振动,拉氏变换法可以得出受迫振动的全部解。,SDOF系统，,传递函数H(s)：在零初始条件下，位移响应（输出）的拉氏变换与激振力（输入）的拉氏变换之比：,传递函数与输入、输出无关，它完全由系统本身特性所决定。传递函数完全描述了系统的动力学特性。拉氏变换与时域分析关系：传递函数的逆变换就是脉冲响应函数h(t),2.2单自由度系统的强迫振动,例：无阻尼SDOF系统受到三角形冲击载荷的响应。设初始条件为0。,解：,设,利用时移特性,2.2单自由度系统的强迫振动,初始状态不是静止,在激振力开始作用的t=0时刻，存在初始位移x0和初速度v0,支承运动y引起的振动,相当于受到两个力的激励,2.2单自由度系统的强迫振动,设初始状态静止,支承运动的加速度已知,用相对位移处理将更为方便，令,已知,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,2.2单自由度系统的强迫振动,和矩形脉冲响应相似，因此，重物最大相对位移。,钢丝绳伸长与刹车时间成反比，如果t1很小，,2.2单自由度系统的强迫振动,除这种情况外，最大伸长发生在,阶段，若,缓慢刹车对于减小钢丝绳张力非常重要。,第2章单自由度系统的振动,2.3单自由度系统的工程应用,2.3单自由度系统的工程应用,2.3单自由度系统的工程应用,2.3单自由度系统的工程应用,ha,与基础振动下的幅频响应曲线相同。要隔振，必须有。当时，阻尼增加，隔振效果反而不好。,2.3单自由度系统的工程应用,2.3单自由度系统的工程应用,2.3单自由度系统的工程应用,2.4阻尼理论,简谐力一个周期做的功与激励和响应的幅值、及其相位有关。,2.4阻尼理论,将力与位移用旋转矢量表示将力分解为两部分：F1与位移同相F2与速度同相，F2F0siny只有与速度同相的分力才在一个周期内作功，与位移同相的分力不作功,2.4阻尼理论,2.4阻尼理论,粘性阻尼力在一个周期内所消耗的能量,简谐力，相位超前位移90o,阻尼力在一个周期做的功与幅值平方、振动频率成正比。旋转矢量图上，cBw=F2=F0siny,阻尼力所作的功/消耗的能量激振力的功共振时yp/2，激振力阻尼力激振力所作功最大阻尼作用:强迫振动中，限制共振时振幅远离共振点，阻尼对振幅的影响很小,2.4阻尼理论,阻尼理论,如果系统中存在非粘性阻尼，可用一个等效粘性阻尼系数ce来近似计算思路：一个周期内，非粘性阻尼消耗的能量等效粘性阻尼力消耗的能量,假设：系统采用ce后仍作简谐运动,实际阻尼作的功,等效粘性阻尼做的功,1）等效粘性阻尼,只要计算出实际阻尼作的功，即可求出等效粘性阻尼。,2.4阻尼理论,例子,在受迫振动过程中，摩擦力是一个常力，方向与运动相反。从平衡位置最大位移处（T/4），摩擦力的功FB最大位移处平衡位置（T/4），摩擦力的功FB重复上述过程一个周期内，摩擦力的功Wd4FB,*干摩擦阻尼,干摩擦的等效粘性阻尼与摩擦力成正比，频率和振幅