高考理数　导数与积分

3.1导数与积分,高考理数(课标专用),考点导数的概念及其几何意义1.(2018课标,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x,A组统一命题课标卷题组,五年高考,答案D本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1,f(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.,解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题:(1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点.(2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建立方程组.(3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.,2.(2014课标,8,5分,0.660)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3,答案Dy=a-,当x=0时,y=a-1=2,a=3,故选D.,思路分析根据导数的几何意义得y|x=0=2,由此可求得a.,方法总结已知曲线在某点处的切线,求曲线方程中的参数时,常利用“切线的斜率等于曲线所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.,3.(2018课标,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.,答案y=2x,解析本题主要考查导数的几何意义.因为y=,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.,4.(2018课标,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.,答案-3,解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)ex,则f(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f(0)=a+1=-2,解得a=-3.,5.(2016课标,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0),则f(x)=-3(x0),f(1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.,思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.,6.(2016课标,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.,答案1-ln2,解析直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y=,由y=ln(x+1)得y=,k=,x1=,x2=-1,y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A,B,A、B在直线y=kx+b上,思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.,7.(2014课标,21,12分,0.244)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.,解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exlnx+ex-1,从而f(x)1等价于xlnxxe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx.所以当x时,g(x)0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g=-.,设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.,思路分析(1)利用导数的几何意义及切线过切点求a,b的值;(2)利用(1)得f(x)的解析式,将f(x)1等价转化为xlnxxe-x-,构造函数g(x)=xlnx,h(x)=xe-x-,再利用导数分别求出g(x)min,h(x)max,进而得g(x)h(x),从而证得原不等式成立.,方法总结证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题.,考点一导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3,B组自主命题省(区、市)卷题组,答案A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f(x1)f(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f(x)=cosx,则f(0)f()=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f(x)=,则f(x1)f(x2)=0,故函数y=lnx不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f(x)=ex,则f(x1)f(x2)=0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f(x)=3x2,则f(x1)f(x2)=90,故函数y=x3不具有T性质.故选A.,2.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.,答案(-ln2,2),解析令f(x)=e-x,则f(x)=-e-x.设P(x0,y0),则f(x0)=-=-2,解得x0=-ln2,所以y0=eln2=2,所以点P的坐标为(-ln2,2).,3.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.,答案(1,1),解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=的导函数为y=-,曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-,由题意知k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).,4.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.,解析(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,知即解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,考点二定积分的运算及应用1.(2014山东,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.4,答案D由得x=0或x=2或x=-2(舍).S=(4x-x3)dx=4.,评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.,2.(2014江西,8,5分)若f(x)=x2+2()A.-1B.-C.D.1,3.(2014湖北,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sinx,g(x)=cosx;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.3,答案C由得f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以为区间-1,1上的正交函数;由得f(x)g(x)=x2-1,所以f(x)g(x)dx=(x2-1)dx=-,所以不是区间-1,1上的正交函数;由得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以为区间-1,1上的正交函数.故选C.,4.(2014湖南,9,5分)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=,答案A由f(x)dx=sin(x-)dx=-cos(x-)=-cos+cos=0,得cos=sin,从而有tan=,则=n+,nZ,从而有f(x)=sin=(-1)nsin,nZ.令x-=k+,kZ,得x=k+,kZ,即f(x)的图象的对称轴是x=k+,kZ,故选A.,5.(2015湖南,11,5分)dx=.,答案0,解析dx=(2-2)-0=0.,6.(2015天津,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.,答案,解析曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由解得x=0或x=1,所以S=(x-x2)dx=-=.,考点一导数的概念及其几何意义1.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln5B.8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2,C组教师专用题组,答案C由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s=v(t)dt=dt=4+25ln5(m).,2.(2012课标,12,5分)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2),答案B由y=ex得ex=2y,所以x=ln2y,所以y=ex的反函数为y=ln2x,所以y=ex与y=ln2x的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(ln2x)=1,解得x1=1,令=1,解得x2=ln2,所以两点为(1,ln2)和(ln2,1),故d=(1-ln2),故选B.,3.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.,答案2,解析令ex=t,则f(t)=lnt+t,所以f(x)=lnx+x(x0),所以f(x)=+1,所以f(1)=1+1=2.,4.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.,解析(1)设f(x)=,则f(x)=.所以f(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1).g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f(x)=.当01时,x2-10,lnx0,所以g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.,考点二定积分的运算及应用1.(2014陕西,3,5分)定积分(2x+ex)dx的值为()A.e+2B.e+1C.eD.e-1,答案C(2x+ex)dx=(x2+ex)=1+e1-1=e,故选C.,2.(2013江西,6,5分)若S1=()A.S1S2S3B.S2S1S3C.S2S3S1D.S3S2,故S2S1S3,选B.,3.(2011课标,9,5分)由曲线y=,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A.B.4C.D.6,答案C如图阴影部分面积即为所求,求得曲线y=与直线y=x-2的交点为A(4,2),S阴=.,错因分析由被积函数求原函数时出错是致错的主要原因.评析本题考查定积分运算及定积分的几何意义,属容易题.,4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.,答案1.2,解析建立直角坐标系,如图.,5.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.,答案3,解析x2dx=9,解得T=3.,6.(2013福建,15,5分)当xR,|x|1时,有如下表达式:1+x+x2+xn+=.两边同时积分得:,答案,解析+x+x2+xn=(1+x)n,两边同时积分得:+xdx+x2dx+xndx=(1+x)ndx,从而得到如下等式:+=.,考点一导数的概念及其几何意义1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln,则f(1)=()A.-eB.2C.-2D.e,三年模拟,A组20162018年高考模拟基础题组,答案B由已知得f(x)=2f(1)-,令x=1得f(1)=2f(1)-1,解得f(1)=1,则f(1)=2f(1)=2.,2.(2018广东深圳二模,7)设函数f(x)=x+b,若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处的切线经过坐标原点,则ab=()A.1B.0C.-1D.-2,答案D由题意可得,f(a)=a+b,f(x)=1-,所以f(a)=1-,故切线方程是y-a-b=(x-a),将(0,0)代入得-a-b=(-a),故b=-,故ab=-2,故选D.,3.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cosxB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin2xD.f(x)=ex+x,答案CA选项中,f(x)=-3sinx,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B选项中,f(x)=3x2+2x,其图象的对称轴为x=-,排除B选项;C选项中,f(x)=2cos2x,其图象关于y轴对称;D选项中,f(x)=ex+1,其图象不关于y轴对称.,4.(2016安徽安庆二模,7)给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导函数,f(x)是函数f(x)的导函数,若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx-cosx的拐点是M(x0,f(x0),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上,答案Bf(x)=3+4cosx+sinx,f(x)=-4sinx+cosx,结合题意知4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0,f(x0)在直线y=3x上.故选B.,5.(2018安徽淮南一模,21)已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)在函数f(x)=x2-lnx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由.,解析(1)由题意可得f(1)=1,且f(x)=2x-,f(1)=2-1=1,则所求切线方程为y-1=1(x-1),即y=x.(2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2,不妨设x10)存在公共切线,则a的取值范围为()A.(0,1)B.C.D.,答案D曲线y=x2在点(m,m2)的切线斜率为2m,曲线y=(a0)在点的切线斜率为en,如果两条曲线存在公共切线,那么2m=en.又由直线的斜率公式得到2m=,则有m=2n-2,则由题意知4n-4=en有解,即y=4x-4,y=ex的图象有交点.若直线y=4x-4与曲线y=ex相切,设切点为(s,t),则es=4,且t=4s-4=es,可得切点为(2,4),此时=,故要使满足题意,需,则a,故a的取值范围是a.故选D.,解题关键将原问题转化为方程有解问题,进而转化为两函数图象有交点问题是解题的关键.,方法总结解有关公切线问题的一般步骤:设出切点坐标(x1,y1),(x2,y2);由f(x1)=f(x2)建立方程关系结合公切线知识求解.,4.(2017江西南昌联考,11)已知函数f(x)是定义在(0,+)上的可导函数,f(x)为其导函数,当x0且x1时,0,若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为-,则f(1)=()A.0B.1C.D.,答案C当x0且x1时,0,可得x1时,2f(x)+xf(x)0;01时,g(x)0;0x0,展开式的常数项为240,则(x2+xcosx+)dx=.,答案+2,解析展开式的常数项为a4=240,得a4=16,a=2,故所求式子为(x2+xcosx+)dx=x2dx+xcosxdx+dx.dx=2dx=2,x2dx=x3=,xcosxdx=(xsinx+cosx)=0,(x2+xcos