离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)ppt课件

兹变换和兹变换的关系兹变换和兹变换的频谱分析，第3章离散傅里叶变换，2，连续信号xa(t)，其傅里叶变换是：xa(t)是时域连续信号Xa()是频域连续信号，3.1问题提出：连续信号的傅里叶变换，3，离散信号在两个变换域的表示(1)离散时间傅里叶变换DTFT -提供离散时间序列在频域的绝对加法表示()。(2)Z变换-提供任何序列的Z域表示。这两种变换有两个共同的特点：(1)变换适用于无穷序列，(2)它们是连续变量或z的函数，提出了3.1问题：离散信号的变换，(4)问题：X(z)，X(ejw)都是连续的，很难用计算机处理，如用Matlab，因此提出了频域采样离散频谱的问题；该序列必须被截断以获得有限点序列。目的：我们需要获得一种数值变换方法：(1)DTFT-频域原始信号频谱的周期扩展(2)频域采样DTFT-DFS(3)将DFS扩展到有限持续时间时间序列DFT(DFT)避免了上述两个问题，是一种计算机实现的变换方法。)离散傅立叶变换已成为数字信号处理算法中的核心变换，原因如下：(1)有限长序列傅立叶变换的重要方法(2)有快速算法，3.1问题的提出：可计算性，5，3.1问题的提出：傅立叶变换的四种形式(1)，非周期连续时间-傅立叶变换(FT)-连续频率周期连续时间-傅立叶级数(FS)-离散频率非周期离散时间-离散时间傅立叶变换(DTFT)-连续频率周期离散时间-离散傅立叶级数(DFS)-离散频率，提出6，3.1问题：离散频率连续信号(非周期)的傅里叶变换，时域中的连续函数产生频域中的非周期谱，时域中的非周期谱产生频域中的连续谱。7，2。周期性连续时间信号：傅立叶级数。时域中的连续函数导致频域中的非周期谱。频域中的离散对应时域是一个周期函数。3.1问题：傅立叶变换的四种形式(3)，时域周期频域离散化，8，3。非周期性离散信号：离散时间傅里叶变换DTFT，时域离散化导致频域的周期性扩展非周期性对应于频域的连续性，3.1问题：傅里叶变换的四种形式(4)，时域离散频域周期性，采样定理，9，4。周期性离散时间信号：离散傅立叶级数离散傅立叶级数，一个域的色散导致另一个域的周期性连续离散傅立叶级数的时域和频域的色散和周期性。3.1方案：傅里叶变换的四种形式(5)、时域周期、离散频域周期、色散、10、傅里叶变换的四种形式概述：离散时间函数的采样间隔：T1、采样频率：离散频率函数的采样间隔：F0、时间周期：3.1问题：傅里叶变换的四种形式(6)。结论：时域函数采样(离散)(映射)和频域函数周期重复；频域函数采样(映射)和时域函数循环重复；(3)采样间隔(映射)周期(2/间隔)，0，时域函数采样，频域函数采样。3.1问题：傅立叶变换的四种形式(7)、(12)。从以上讨论可以清楚地看出，时域采样将导致频域中的周期性扩展，而频域采样也将导致时域中的周期性扩展。因此，可以假设，如果频域和时域同时采样，结果是时域和频域波形变成离散和周期性的波形，所以我们可以使用傅立叶级数作为工具来获得它们之间的离散傅立叶级数DFS关系。3.2DFS及其属性，13。基本关系如果r和m是整数，那么：其中：DFS定义：初步知识，证明： r=m:无论k取什么值，显然这个方程成立。对于r m:14，为了推导出关系，下列变量被替换：时域：频域：然后：DFS定义：正转换，15。周期离散序列的z变换由于周期离散序列而存在(收敛)问题，而对于周期信号，在严格的数学意义上，它的z变换不收敛，因为：它是绝对可加的(收敛),因为找不到衰减因子。为此，定义了一个新的函数，它的Z变换：DFS定义：正变换，16，它的频谱：(是一个连续变量，需要离散化)，DFS定义：正变换，(取一个主周期进行Z变换)，17，频域采样X(Ej)是一个连续变量的周期函数，周期为2。是离散化的，即n个点在0 2的间隔内等距取值，采样间隔为2/n。另一方面，X(ej)是z平面单位圆上的z变换。连续变量的离散化也可以看作是将单位圆分成n个等份，每个等份分为2/n，其中，称为频域采样间隔，也称为频率分辨率。dfs定义：正转换，18，dfs定义：正转换，19，DFS:DFS定义：正转换，也只有0，1，周期为N的N-1个独立值，因为，因此，逆变换20，IDFS正变换的两端都乘以，m=0，1，N-1，然后k=0，1，n-1相加得到：DFS定义：逆变换，使用正交条件：21，DFS定义：逆变换，即(只有当m=n时，才有一个值，当m不等于n时，才有零，因此，x(n)只取x(m)，变量m被n代替，所以，22，DFS变换对：时域周期序列和频域周期序列之间的关系，DFS定义：逆变换，其中，23-频率采样频率采样：如果时间信号是有限的当满足以下条件时，X(EJ)的采样值X(k)可以恢复到原始信号而不会失真。 为了避免时间混叠：(1)它必须是有时间限制的(有限的时间宽度)(2)采样频率间隔小于，DFS定义：几个解释，24，如果可变DFS的频率分量可以表示为：因此，时域n和频域k具有物理意义。DFS定义：几种解释(索引项k:0N不变)，25，更具体地说，傅立叶系数标注k与频率f之间的关系是：因此：对应关系：傅立叶系数标注k: 0 n数字频率: 0 2模拟频率f: 0 fs，DFS定义：几种解释，26，DFS定义：几种解释，频率分量DCComponent:当k=0时，得到的傅立叶级数系数称为信号的DC分量，即信号的平均值；交流分量：其他频率(k0)称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为信号的交流分量。当k=1时，频率为信号的一次谐波或基频，频率为fs/N，时间为NTs，等于完成一个周期所需的时间。其他谐波是基频的整数倍。离散傅立叶级数包含从0到(N-1)fs/N的频率，因此N个傅立叶级数的系数位于从0到接近采样频率的频率处。时域27的定义，DFS几个解释表明周期信号频谱的振幅频谱和相位频谱可以从傅立叶系数获得。不难证明，如果它是一个实序列，那么振幅谱是一个周期的偶数函数，相位谱是一个周期的奇数函数。对于周期信号，离散傅里叶级数DFS得到的频谱与对于非周期信号，离散时间傅里叶变换DTFT得到的频谱有着重要的区别。(1) DTFT产生一个连续谱，这意味着该谱在所有频率上都有值，因此非周期信号的振幅和相位谱是平滑和不间断的曲线。(2)相比之下，DFS只有N点谱，并且只包含有限数量的频率，因此周期信号的幅度和相位谱是线谱，即具有相等间隔的垂直线。当频谱的横坐标变量被实际频率f代替时，线路间隔为fs/n。不是所有的周期信号都包含所有的谐波，例如，一些频谱只有奇数谐波，如三角波，甚至有害为了计算所有DFS系数，另一个用于.需要结束循环，这将导致为运行嵌套的两个.结束循环。显然，这种方法效率低下。29，集合并表示序列x(n)和X(k)的主周期的列向量，DFS的正负变换表达式由下式给出：其中矩阵WN由下式给出：矩阵WN是一个方阵，称为DFS矩阵。(2)使用矩阵向量乘法，30，函数xk=DFS(xn，n)n=0333 601:n-1；% row vectorfornk=0:1:N-1；% RowVectorForKWn=exp(-j * 2 * pi/N)；% Wnfactornk=n * k；% CreateSanBynMatrixOfnkvaluesWnK=WN。nk；矩阵=xn * WNnk。% RowVectorForfscoefficients Functionxn=idfs(Xk，N)N=0:1:N-1；% row vectorfornk=0:1:N-1；% RowVectorForKWn=exp(-j * 2 * pi/N)；% Wnfactornk=n * k；% CreateSanBynMatrixOfnkvaluesWnK=WN。(-nk)；% IDFsMatrixXn=(Xk * WnNK)/N；% rowvectorforidfsvalues，Matlab实现的DFS，例子：找到DFS表达式的下列周期序列，解决方案：上述序列的基本周期是N=4，因此W4=e-j2/4=-j，例子：给出了一个周期“方波”序列如下：其中m=0，1，2，N是基本周期，L/N是占空比。(a)确定由L和N描述的表达式。(b)当L=5和N=20时，分别画一个图；L=5，N=40L=5，N=60当L=7和N=60时的表达式。讨论取得的结果。(a)由DFS定义，振幅：可表示为：b.Matlab程序如下：%第3:章示例3.03 L=5；N=20(改变参数)x=1(1，L)，0(1，N-L)；xn=x * 1(1，3)；xn=(xn(:)；N=-N:1:2 * N-1；子情节(1，1，1)；子情节(2，1，2)；茎(n，xn)；XL Abel(n)；ylabel(xtilde(n)标题(三周期xtilde(n)轴(-N，2*N-1，-0.5，1.5)，%零件(b)L=5；N=20(改变参数)xn=1(1，1)，零(1，N-1)；Xk=dfs(xn，N)；MagXk=ABS(Xk(N/2 1:N)Xk(1:N/2 1)；k=-N/2:N/2；子情节(2，2，1)；茎(k，MagXk)；轴(-北/2，北/2，-0.5，5.5)XL Abel(k)；标题。波形：L=5，N=20)，注意：这是一个周期信号，图中只显示了从N/2到N/2的部分。从图中可以看出，方波DFS系数的包络类似于一个“正弦”函数。当k=0时，振幅等于l；(2)同时功能的零点位于N/L的整数倍(占空比的倒数)；(3)当l=5不变且n较大时(即填充0但有效信息不增加)，形状不变但更平滑，即获得高密度谱；当n=60不变且l较大(即原始数据的长度增加)时，变换后的形状发生变化，获得更多的信息，即高分辨率光谱。例如，当N=5、10、20、50时，分别在单位圆上采样z变换，以研究不同N对时域的影响。%frequency-domainsampling%x(n)=(0.7)n*u(n)%x(z)=z/(z-0.7)；| z |子图(1，1，1)N=5；(改变参数)k=0:1:N-1；wk=2 * pi * k/N；ZK=exp(j * wk)；Xk=(zk)。/(ZK-0.7)；xn=实数(idfs(Xk，N)；%只取实部，去掉虚部误差xtilde=xn * ones，8)；%绘制8个周期xtilde=(xtilde(:)；子情节(2，2，1)；阀杆(0:39，xtilde)；坐标轴(0，40，-0.1，1.5)；XL Abel(n)；y label(xti lde(n)；标题(N=5)清楚地显示了时域中的混叠，尤其是当N=5和N=10时。对于大的n值，x(n)的尾部足够小，不会导致明显的混叠。这对于在转换之前有效地截取无限序列非常有效。1.2020，1.0291，1.0008，1.0000，42，线性，和：那么，-a，b是任意常数，DFS属性：线性，43，如果序列的周期移位(时域)是周期序列，其周期是n，移位仍然是周期序列，并且：DFS属性：序列的周期移位，证明：44，调制属性(频域周期移位)，DFS属性：调制属性，证明：45，周期卷积(时域)，等等，DFS性质：周期性卷积(1)，46，DFS性质：周期性卷积(2)，证明：47，DFS性质：周期性卷积(3)，(1)x1(n)和x2(n)是周期性的。(2)求和范围是周期序列的周期卷积后的一个周期(3 ),序列的长度仍然是周期的；情况保持不变。序列的线性卷积和周期卷积的一些区别：线性卷积的求和对卷积中涉及的两个序列没有要求，而周期卷积要求两个序列是具有相同周期的周期序列。线性卷积的求和范围由两个序列的长度和它们所处的区间决定，而周期卷积的求和范围是周期N。通过线性卷积获得的序列的长度(M N-1)由卷积中涉及的两个序列的长度决定，而周期卷积的结果仍然是周期与原始两个序列相同的周期序列。周期卷积等价于一个周期上两个周期序列的线性卷积计算。DFS的本质是周期卷积(4)，解：例如，序列x1(n)=R4(n)，x2(n)=(n 1)R5(n)是已知的，并且该序列被扩展为周期分别为N=6的周期序列，以找到两个周期序列的周期卷积和。1，5，4，5，1，2，51，频域周期卷积DFS的对偶性是：如果是，时域乘以频域卷积，DFS的性质：周期卷积(5)，请注意，频域卷积的和符号前面是1/n。以下两个序列由任何周期序列定义：共轭偶对称周期序列共轭奇对称周期序列，并具有以下关系：其他对称性质见教科书，53，DFS定义和性质：概述。 时域周期序列和频域周期序列之间的关系DFSDFS的性质集中在：周期移位调制特性的周期卷积，54，对于有限长度的信号(连续的)，分析频谱问题是傅立叶积分问题。 广义积分问题可以通过时域周期重复和采样两个过程转化为有限项的和，即CTFT