3连续系统的数字仿真

连续系统数字仿真导论连续控制系统计算机仿真的目的是求解系统的数学模型。一个n阶连续系统可以描述为由n个积分器组成的模拟结构图，在计算机上构造n个数字积分器，即让计算机执行n个数值积分运算。连续系统数字仿真中最基本的算法是数值积分算法。本质上，仿真中的几个问题是从时间和数值两个方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来逼近积分运算，从而得到一个离散模型来逼近原连续模型。如何保证离散模型的计算结果在原则上能够代表原系统的行为，是连续系统数字仿真必须解决的首要问题。3.1、数值积分法。为了在数字计算机上模拟和求解n阶连续系统，需要用数值积分法求解系统数学模型中的n个一阶微分方程。假设包含在n阶连续系统中的n个一阶微分方程的I个一阶微分方程是所谓的数值积分方法，即近似值x (t1)，x (T2)，在间隔中的几个离散点上，a，b被逐个求解。3.1.1欧拉法(Euler method)，也称为矩形法或折线法，使用矩形面积来近似积分结果，并对上述公式中微分方程的两边进行积分。如果积分步长为h，则简化为欧拉公式、t，dx/dt=f(t，x (t)、t0，t1，曲线下的面积为x(t)、T2、f (t1，x1)、f (T2，x2)、f (t0，x0)、当t=t1时，y(t1)的近似值y1，当t=t2时，对于任意时间tk 1，使tk 1-tk=hk，称为步长k，如果步长距离为常数，hk=h；欧拉方法的截断误差与H2成正比；3.1.2梯形近似，使tk1-tk=hk=h；当t=tk已知时，x(tk)的近似值为xk；曲线下面积为x (t)，t，dx/dt=f (t，x (t)，t1，T2，f (t1，x1)，f (T2，x2)，3.1.3预测-校正法，用欧拉法估计初始值；梯形法校正。3.1.4龙格-库塔法，原系统积分：xk 1在tk中扩展为泰勒级数，泰勒级数，如果f(x)在x0的邻域内有各阶导数，则该邻域内f(x)的N阶泰勒公式成立。已知：t1=t0 h，x1=x(t0 h) x1在t0附近展开成泰勒级数，只留下h2项，然后，假设解可以写成：其中K2公式右端的函数在t=t0，x=x0处展开成泰勒级数，留下h项，K1，K2可以代入上述公式，然后，如果a1=a2是通过将上述公式与(2)比较而定义的， 然后将其中一个解代入公式(3)中，得到一组计算公式，并将其写成一般的递推形式，其中，四阶龙格-库塔法，其中，公式中的系数满足以下关系：一般的龙格-库塔公式、二阶龙格-库塔法、四阶龙格-库塔法、四阶龙格-库塔-梅尔森法、二阶龙格-库塔-费伯格法、四阶龙格-库塔-费伯格法龙格-库塔公式是单步方法，因为在计算xk 1时只使用xk，而不直接使用xk-1和xk-2等项，这称为单步方法。存储容量减少，自启动步长h不需要在整个计算中固定，可以根据精度要求进行改变，但必须在一个步骤中使用相同的步长。精度取决于步骤h的大小和方法的顺序。高于四阶的方法每步计算量大，精度提高少，应用少。一阶龙格-库塔公式是欧拉公式。线性多步法的基本原理，基本原理是用一个多项式来匹配几个已知的变量的值和它们的导数值，假设h是一个常数并设置xn，xn1，xn1，在已知TN，tn1，tnk-1。如果xn，xn1，xn k-1和xn k是未知的，xnk和计算的和称为预测，如果xnk也是已知的，则计算称为校正。2显式和隐式。计算时3、数值稳定性和模拟误差。数值积分法利用差分方程作为递推公式求解微分方程。如果模拟误差的累积可以被抑制，相应的计算方法可以被认为是数值稳定的，否则，它是数值不稳定的。模拟误差一般分为截断误差模拟模型是原始模型的近似，算法必须是近似舍入误差由计算机的有限精度产生。对于截断误差，计算步长越小越好。步长越小，计算时间越长，计算次数越多，舍入误差越大。因此，计算步长具有合理的区间、总误差、误差、截断误差、舍入误差、h、h0、o、截断误差计算。通常采用的方法是试图找到一个低阶龙格-库塔公式(通常是低阶公式)。可以发现两个公式的计算结果之间的差异。E.Fehlberg的五阶runge-kutta-felberg方法使用五阶六步法和四阶五步法之间的差异来估计误差。RKF4-5阶公式对被认为是模拟非病理系统最有效的方法之一。其表达式为：误差估计为：ci*表示四阶公式中的系数，RKF1-2当精度要求不高时，另一个一阶公式的计算公式，估计误差，一般模拟问题，中等精度RKS3-4的误差估计，RKS3-4:2。步骤控制，1)二等分方法2)最优步骤方法，二等分方法，设置最小误差极限和最大误差极限，当估计的局部误差大于最大误差极限时，将步骤减半，并重新计算该步骤；当误差在最大误差极限和最小误差极限之间时，步长不变；当误差小于最小误差时，将步长加倍。每一步的局部误差通常采用以下形式：Ek是误差估计值、相对误差和绝对误差，通过使用本节中的公式获得。该策略表示为：最大和最小误差限制，计算简单且小，但不能实现每一步都是最佳步长。最佳步长方法确保获得最大步长(最佳步长)策略：给定误差限制，将步长设置为hk，并将该步长的相对误差估计值设置为ek。假设所采用的积分算法是k阶的，Ek可以表示为：其中，它是积分区间(tk，xk h)中某个变量的f(t，x)的偏导数的组合。因此，一般来说，ek是if，那么这一步的集成是成功的。假设hk 1足够小，可以认为下一步的误差是为了确保，如果ek被代入上述公式，则存在：如果，则该步骤失败，则采用上述公式进行重新计算，指示重新积分的逐步长度。一般来说，h的最大放大和收缩系数限于10，即3.2连续系统的数字仿真程序是根据状态方程和输出方程编写的。因此，必须使用状态空间表达式，并使用初始条件和数值积分方法来选择合适的步长。假设采用四阶龙格-库塔法求解状态空间表达式。对于n阶系统，状态方程可以写成下面的n个一阶微分方程，这些方程可以用四阶龙格-库塔方法得到。关于系数的定义，见教科书中的公式P78，其中，当t=tk时，xik为数值，当t=tk h时，xik 1为数值，上述公式以矩阵的形式写成。对于系数矩阵，参见下页t=tk 1处的输出作为一般步骤，示例3-1e3 _ 1.m。假设单变量系统的框图如下所示，尝试根据四阶龙格-库塔公式找到输出Y的动态响应，取模拟时间Tf=5s，步长h=0.02s、(1.875 * 10 6S 1.562 * 10 6)/(S 4 54S 3 204.2S 2 213.8S典型环节的选择：比例、k积分、比例积分、惯性环节、一阶超前(滞后)环节、二阶振荡环节、典型环节。有些人建议使用一阶超前-滞后环节作为典型环节，这可以很容易地代表其他通信、ui、yi、3.3.2连接矩阵-建立方法、I、II、III、 2、R1、X1、 5、U2、U1、X3、X2、U3、 3、-、-、-、-、IV、X4、Y1、U4、Y2、R2、R3、V、数字框代表典型链路，2、3、5代表比例系数，u5、x5、W系统连接矩阵、W0外部输入连接矩阵、n*n矩阵、n*iu矩阵、或写成Wc每个典型链接可以表示为gi(s)=Xi(s)/ui(s)=(cidis)/(aibis)(I=1，2，n)即(aibis) * xi (s)=(cidis) * ui (s) (i=1，2，n)以矩阵形式写成：(A Bs)X(s)=(C Ds)U(s)，A，B，C，D分别将连接矩阵代入上式，如下页所示，即系统方程在两边都转化为拉普拉斯逆变换。如果参考输入向量是一个阶跃函数，那么H=B-DW，Q=CW-A，那么如果H的倒数存在并且A=H-1Q，B=H-1W0，那么这就是系统的闭环状态方程。注：为了保证氢-1的存在，要