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,平面与空间中的余弦定理,人教A版高二数学选修2-2第二章阅读与思考,天津市滨海新区大港第八中学王月会,类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。,波利亚(GeorgePolya，1887-1985)，美籍匈牙利数学家，著名的数学教育家，享有国际盛誉的数学方法论大师。他一生发表了200多篇论文和许多专著，著有怎样解题、数学的发现、数学与猜想等。在数学教育领域最突出的贡献是开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。,延时符,1、如图，有面积关系：，则在三棱锥中有类似的结论是：,复习回顾,2.若的三边长分别为内切圆半径为则三角形面积为.拓展到空间，类比上述结论，若四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为则四面体的体积为,延时符,3.在平行四边形ABCD中有那么在平行六面体中有,4:形成普遍命题（猜想）,2:类比,探究新知,延时符,问题：平面三角形的余弦定理类比到空间四面体有怎样的结论？,问题：平面三角形的余弦定理类比到空间四面体有怎样的结论？,平面,三角形,空间,四面体,类比,类比,四面体,三角形,空间角,问题：平面三角形的余弦定理类比到空间四面体有怎样的结论？,面,在四面体中，设二面角大小依次是,延时符,猜想:以底面BCD为例,延时符,余弦定理的证明,A,C,B,D,延时符,a,b,c,射影法,延时符,证明,延时符,证明方法展示！,_,_,_,代入得,证明：,延时符,四面体的余弦定理,延时符,空间勾股定理,思考：若四面体中VB、VC、VD三条棱两两垂直,例1.在四面体V-ABC中，V为直角顶点，若两两垂直求顶点V到面ABC的距离h。,典例分析,解：由及空间勾股定理得又所以,例2.在正三棱锥V-ABC中，设两侧面所成的角为,侧面与底面所成的角为。求证：,解：由题可知显然即得所以,本节课由平面余弦定理类比得到了空间余弦定理，空间余弦定理揭示了四面体各面面积与夹角间的内在联系，形式上与平面余弦定理极为相似，仅仅是量纲和维数的差异。我们从平面几何出发，运用类比推理的形式，通过猜想发现立体几何中存在的类似结论，所以平面几何与立体几何之间有着千丝万缕的联系.,总结提炼,引申拓展,平面三角形的正弦定理能推广
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