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文档简介

4.1一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速绕定点O转动,某一点P以相对速度沿AB边运动,当三角形转了一周时,P点走过了AB,如已知,试求P点在A时的绝对速度与绝对加速度。,解:如图建立坐标系,P点的牵连速度和相对速度为:,绝对速度为:,与三角形斜边的夹角。,绝对速度的大小为:,在平面转动参照系中,质点的绝对加速度为:(是一恒矢量),与三角形斜边的夹角。,其加速度的大小为:,42一直线以匀角速度在一固定平面内绕其一端o转动,当直线位于ox的位置时,有一质点P开始从o点沿该直线运动,如欲使此点的绝对速度的量值为常数。问此质点应按何种规律沿此直线运动?,解:质点相对速度大小:,绝对速度大小:,质点运动规律为:,积分,43P点离开圆锥顶点o,以速度沿母线作匀速运动,此圆锥则以匀角速绕其轴转动,求开始t秒后P点绝对加速度的量值,假定圆锥体的半顶角为.,解:在空间转动参照系中,设质点t时刻在母线P处,位矢为,质点的绝对加速度为:,方向指向转动轴(在母线和转动轴构成的平面内),方向与母线和转动轴构成的平面垂直,方向指向转动轴(在母线和转动轴构成的平面内),44小环重W,穿在曲线的光滑钢丝上,此曲线通过坐标原点,并绕竖直轴oy以匀角速转动,如欲使小环在曲线上任何位置均处于相对平衡状态,求此曲线的形状及曲线对小环的约束反力。,解:将小环放在曲线上任意位置,受力分析如图所示,小环处于相对平衡时满足:,其投影形式为:,(1)(2)联立得:,小环所受约束反力为:,利用,对上式积分得曲线为抛物线:,45在一光滑水平直管中,有一质量m为的小球,此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动,如开始时,球距转动轴的距离为a,球相对于管子的速度为零,而管的总长则为2a,求小球刚离开管口时的相对速度与绝对速度,并求小球从开始运动到离开管口所需的时间。,解:如图建立坐标系,小球受力分析如图所示,对平面转动参照系而言,质点相对运动微分方程为:,(是恒矢量),小球相对管的运动微分方程为:,积分:,两边乘:,所以相对速度为:,牵连速度为:,由小球相对管的运动微分方程:,积分:,即:,绝对速度为:,绝对速度大小为:,再积分:,4、6一光滑细管可沿铅直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动,其中有一质量为m的质点,开始时,细管取水平方向,质点距转轴的距离为a,质点相对于管的速度为,试求质点相对于管的运动规律。,解:对平面转动参照系而言,质点相对运动微分方程为:,质点沿管方向的运动微分方程为:,如图建立坐标系,质点受力分析如图所示.,设(1)式非齐次特解为:,(1)式齐次方程的通解为:,即:,上式代入(1)得:,所以(1)式的通解为:,上式对时间求导得:,利用初始条件:代入上两式得:,即:,故质点相对于管的运动规律为:,47质量分别为m及的两个质点,用一固有长度为a的弹性绳相连,绳的倔强系为,如将此系统放在光滑的水平管中,管子绕管上某点以匀角速转动,试求任意瞬时两质点间的距离。设开始时,质点相对于管子是静止的。,解:在管子上建立动坐标系,受力分析如图所示,由平面转动参照系的运动微分方程:,设任一时刻两质点间的距离为s,将代入上式并化简得:,由初始条件:,任意瞬时两质点之间的距离为:,上式的解为:,48轴为竖直而顶点向下的抛物线形金属丝,以匀角速绕竖直轴转动。另有一质量为m的小环套在此金属丝上,并沿金属丝滑动,试求小环运动的微分方程。已知抛物线的方程为,式中a为常数,计算时可忽略摩擦阻力。,解:建立固连在金属丝上的转动坐标系,受力分析如图所示。z方向受力没画。,由空间转动参照系中的动力学方程:,其分量式为:,、两式消去N得:,由得:,、两式联立得:,即:,由得:,将代入得:,小环相对运动微分方程为:,49上题中,试用两种方法求小球相对平衡的条件。,解:方法1,选取转动参照系oxyz,相对平衡时:小环受力分析如图所示。,得小环处于相对平衡时满足:,其投影形式为:,(1)(2)联立得:,由相对平衡方程:,故小环处于相对平衡时满足:,代入上式得:,由得:,(1)(2)联立得:,方法2:选取惯性参照系,小环相对金属丝静止,则小环相对惯性系作匀速圆周运动,小环受力分析如图所示,其所受向心力为:,其投影形式为:,(1)(2)联立得:,故小环处于相对平衡时满足:,代入上式得:,由得:,410质量为m的小环,套在半径为a的光滑圆圈上,并可沿着圆圈滑动,圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点o转动,试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。,解:选取圆圈为平面转动参照系,则小环运动微分方程为:,小环受力如图所示:重力:,约束反力:(图中未画),牵连惯性力大小:,科氏力的大小:,方向如图所示。,即:,小环切向运动微分方程为:,补充题1、M点在杆OA上按规律x=2+3t2(厘米)运动,同时杆OA绕O轴以匀角速度=2rad/s转动。如图所示,求当t=1s时,M点的科氏加速度的大小。,解:科氏加速度:,其科氏加速度大小为:,补充题2、矩形板绕其一边以匀角速转动,动点沿另一边以相对匀速度vr运动(如图所示),求动点在图示位置时,科氏加速度的大小。,科氏加速度:,补充题3、飞机飞越北极上空,其相对速度为100m/s,若飞机质量为kg,求飞机受到的科里奥利力的大小。,科里奥利力:,科里奥利力的大小为:,补充题4、如图所示的机构在其所在平面内运动,滑块M在曲柄O1A与O2A相接处,且可沿BO2杆滑动。M以相对速度vr如图示方向运动,则科氏加速度的方向为:(),A、ac垂直于vr沿MO1指向O1;B、ac垂直于vr沿O1M背离O1C、ac垂直于vr方向不定;D、ac=0,选B,补充题5、一水平圆盘绕一过盘心且垂直于盘面之轴转动,角速度为恒矢量,一质点M以相对速度u自圆盘上一弦之中点开始沿弦运动,弦心矩为b,当质点离弦中点为x时,求质点绝对速度的大小,绝对加速度的大小。,解:如图所示,建立转动坐标系o1xy,质点相对速度为:,质点牵连速度为:,质点的绝对速度为,质点的绝对速度的大小为,求质点的绝对加速度的大小:,方向如图所示。,平面转动参照系中质点的加速度为,质点的绝对加速度的大小为:,其中:,补充题6、质点以不变的速率vr沿管子运动,如图所示。此管中部弯成半径为R的半圆周,并绕AB轴以匀角速转动,在质点由C运动至D的时间内,管绕AB轴转过半周,求质点的绝对加速度大小(表示为角的函数)。,空间转动参照系中质点的加速度为,解:如图所示,建立转动坐标系Oxyz,牵连加速度大小,相对加速度大小,科里奥利加速度的大小,方向如图所示,质点的绝对加速度为:,质点的绝对加速度的大小为:,其中,补充题7、圆筒以匀角速绕铅直轴转动,筒内液体随筒转动,求相对平衡时,液体自由表面的形状。,解:选取转动参照系oxyz相对平衡时,液面上任一质点受力分析如图所示。由相对平衡方程:,得小环处于相对平衡时满足:,其投影形式为:,抛物线,利用,对上式积分得曲线形状为:,(1)(2)联立得:,补充题8、水平圆盘绕垂直盘面且通过盘心的竖直轴以匀角速度转动,盘上有一光滑直槽,离转动轴的距离为b,质量为m的小球沿槽运动,求小球相对槽的运动规律及槽对小球

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