材料力学(2)电子教案11.ppt

材料力学,第七章1应力理论,7-1概述7-2平面应力状态的应力分析、主应力7-3空间应力状态的概念7-4应力与应变间的关系7-5空间应力状态下的应变能密度,材料力学,在受力物体内，过一点不同方位的微截面上的应力的集合，就表征了这点的受力状态，这点的受力状态就称之为一点的应力状态。,应力,哪一个截面上？哪一点？,哪一点？哪一个微截面？,指明,7-1概述,1、应力状态的概念：,材料力学,微元体（单元体）,2、一点应力状态的表述：,7-1概述（续1）,单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，通常采用正六面体单元。假设：单元体上每一微截面上的应力，近似地认为是均匀分布。单元体上相互平行微截面上的应力，近似地认为彼此相等。,材料力学,7-1概述（续2）,理论上可以证明：若已知正六面体单元体各个面上的应力，则可由作用于该单元体力系的平衡条件，确定单元体上任意斜截面上的正应力和切应力。,y,z,sz,txy,x,材料力学,x,y,z,s,x,sz,s,y,剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交截面上，如果有与相交边垂直的剪应力分量，则两个面上的这两个剪应力一定等值、指向相对或相离。,7-1概述（续3）,材料力学,7-1概述（续4）,在材料力学所研究的一维构件中，围绕着一点应如何截取初始单元体呢？所谓初始单元体：是指该单元体所暴露截面上的应力均为已知或可以确定。初始单元体的截取：根据材料力学前面已掌握的知识，我们应当参照坐标系，过一点横截面、纵截面的去截取一个正六面体单元体作为初始单元体。,材料力学,例如：截取出下列图示一维构件产生基本变形时，构件中A、B、C各点的已知单元体。,7-1概述（续5）,材料力学,S平面,7-1概述（续6）,例如：截取出图示一维构件S横截面上1、2、3、4、5各点的已知单元体。,材料力学,S平面,7-1概述（续7）,材料力学,同一点的应力状态可以有各种各样的表述方式：,7-1概述（续8）,材料力学,主应力：主平面上的正应力即为主应力。,主平面：单元体上剪应力为零的平面即为主平面。,理论上我们可以证明：通过受力构件中任意一点，总可以截取三个相互垂直的主平面。因此每一点都有三个主应力，以s1、s2和s3表示，且,s1s2s3,7-1概述（续9）,材料力学,7-1概述（续10）,3、如何研究一点的应力状态：,分析作用于单元体（该点）上力系的性质，根据力系的平衡条件（规律）去研究。,单向应力状态任意斜截面上的应力为：,杆件内任意一点均处于单向应力状态；,例如：轴向拉压问题：,材料力学,7-1概述（续11）,4、研究一点的应力状态的目的：,研究一点的应力状态就是要确定过这一点的危险的微截面。而危险的微截面通常是一点的应力状态的最大（最小）正应力和最大（最小）剪应力所作用的微截面。解决了这一问题，也就解决了构件的强度分析的问题，从而达到了我们的最终目的。,在材料力学中为了解决强度分析的问题，一般通过研究一维构件横截面上的内力等因素，首先确定构件（轴向拉压杆件、圆轴扭转、梁的弯曲）的危险横截面。然后通过横截面上各点的应力分析，在危险横截面上确定危险点。进一步的围绕着危险点截取初始单元体，研究一点的应力状态。,材料力学,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,7-1概述（续12）,5、一点应力状态的分类：,材料力学,三向（空间）应力状态,7-1概述（续13）,平面（二向）应力状态,材料力学,单向应力状态,纯剪应力状态,7-1概述（续14）,平面（二向）应力状态,材料力学,平面应力状态分析解析法:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力,已知该点两相互垂直截面上的应力试求垂直于平面的任意斜截面上的应力。,材料力学,正应力正负号规则:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续1),材料力学,若剪应力对其作用截面内附近一点取矩，使微元或其局部顺时针方向转动者为正，逆时针方向转动者则为负。,剪应力正负号规则:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续2),材料力学,由x正向逆时针转到斜截面的外法线n正向者为正；反之为负。,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续3),材料力学,平衡对象用ef斜截面截取的微元局部,利用截面法及微元局部的平衡方程:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续4),材料力学,参加平衡的量应力乘以其作用的面积；,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续5),材料力学,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续6),材料力学,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续7),材料力学,解得：,用斜截面截取，此截面上的应力为,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续8),材料力学,因此,即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,即又一次证明了剪应力的互等定理。,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续9),材料力学,应力圆方程:,(1),(2),7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续10),2.平面应力状态分析图解法（应力莫尔圆）,材料力学,应力圆,（Mohr圆）,应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续11),材料力学,在ts坐标系中，标定与微元A、D面上应力对应的点a和d。连接ad交s轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。,应力圆的画法:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续12),材料力学,点面对应应力圆上某点的一对坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力。,几种对应关系：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续13),材料力学,转向对应应力圆半径旋转方向与微截面外法线的旋转方向一致；,C,二倍角对应应力圆半径转过的角度是微截面外法线旋转角度的两倍。,(sx,txy),o,2qp,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续14),材料力学,d,a,c,单向拉伸应力状态：,单向拉伸,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续15),材料力学,单向拉伸,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续16),材料力学,B,E,纯剪切应力状态,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续17),材料力学,纯剪切,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续18),材料力学,利用解析法得到：,由,将0值代入，得：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续19),3.平面应力状态正应力的极值主应力,材料力学,主平面、主应力与主方向,主平面（PrincipalPlane）：t=0,与应力圆上和横轴交点对应的面。,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续20),材料力学,主应力的确定：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续21),材料力学,主应力的计算：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续22),主应力排序：s1s2s3,材料力学,s1,s2,s1,主方向的确定：,负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向。,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续23),材料力学,对应应力圆上的最高（或最低）点的面上切应力的极值，称为“平面应力状态剪应力的极值最大（最小）剪应力”。,tmax,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续24),4.平面应力状态剪应力的极值最大（最小）剪应力,材料力学,A,D,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续25),5.举例:,材料力学,（一）、图解法,f,解：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续26),材料力学,主应力单元体：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续27),材料力学,（1）斜面上的应力,（二）、解析法,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续28),材料力学,（2）主应力、主平面,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续29),材料力学,主平面的方位：,哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续30),材料力学,主应力的方向：,主应力的方向：,+,+,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续31),材料力学,120,解：,（1）作应力圆,b,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续32),材料力学,（2）根据应力圆的几何关系确定主应力,半径,因此主应力为：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续33),材料力学,（3）绘出主应力单元体。,s1,s2,s2,s1,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续34),材料力学,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。,单元体：,6.梁的主应力迹线:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续35),材料力学,1,s1,s3,s3,s1,s3,4,s1,s1,s3,5,a0,45,a0,s,A2,D2,D1,C,A1,O,t,2a0,s,t,D2,D1,C,D1,O,2a0=90,s,D2,A1,O,t,2a0,C,D1,A2,s,t,A2,D2,D1,C,A1,O,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续36),材料力学,主应力迹线：受力物体应力场中各点应力状态主方向的连线，即该曲线（主应力轨迹线）上每一点的切线都指示着该点的主方向。,实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续37),材料力学,x,y,主应力迹线的画法：,1,1截面,2,2截面,3,3截面,4,4截面,i,i截面,n,n截面,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续38),材料力学,7.承受内压薄壁容器任意点的应力状态,（壁厚为t，内直径为d，td，内压为p）,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续42),材料力学,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续43),材料力学,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续44),材料力学,承受内压薄壁容器任意点的应力状态:,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续45),材料力学,例7-3.图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t=350l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。,s1,sm,p,O,图a,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续46),材料力学,1、轴向应力:,解：容器的环向和纵向应力表达式,用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程：,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续47),材料力学,用纵截面将容器截开，受力如图c所示，根据平衡方程：,2、环向应力：,3、求内压（以应力应变关系求之）,7-2平面应力状态的应力分析、主应力(续48),材料力学,空间应力状态（即三向应力状态）：,空间应力圆（三向应力状态的应力圆）,7-3空间应力状态的概念,材料力学,7-3空间应力状态的概念(续1),平行于的方向的截面，其上之应力与无关，于是由s2、s3可作出应力圆I，同理可做出应力圆、。,材料力学,在-平面内，代表单元体上任意斜截面上的应力的点，或位于图示三个应力圆的圆周上，或位于三个应力圆的圆周所包围的阴影区域内。,7-3空间应力状态的概念(续2),材料力学,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力，即：,7-3空间应力状态的概念(续3),材料力学,三向应力状态中：,7-3空间应力状态的概念(续4),（作用截面的方位与及所指示的主方向成正负45的夹角。）,材料力学,例7-4.平面应力状态作为三向应力状态的特例。,7-3空间应力状态的概念(续5),材料力学,7-3空间应力状态的概念(续6),材料力学,1.各向同性材料的广义胡克定律:,单向应力状态下的虎克定律横向变形与泊松比（各向同性材料）:,-泊松比,7-4应力与应变间的关系,材料力学,三向应力状态的广义胡克定律叠加法,+,+,7-4应力与应变间的关系(续1),材料力学,7-4应力与应变间的关系(续2),材料力学,7-4应力与应变间的关系(续3),材料力学,7-4应力与应变间的关系(续4),材料力学,分析：,、,即,、当时，即为二向应状态：,、当时，即为单向应力状态；,即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。,7-4应力与应变间的关系(续5),材料力学,、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角应变。其应力-应变关系为：,7-4应力与应变间的关系(续6),材料力学,例7-5.已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为:1=24010-6，2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。,所以，该点处的平面应力状态,7-4应力与应变间的关系(续7),材料力学,7-4应力与应变间的关系(续8),材料力学,2、三个弹性常数之间的关系：,7-4应力与应变间的关系(续9),材料力学,例7-6：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变，45方向的应变为。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求:轴向拉力F和扭矩m的值。,7-4应力与应变间的关系(续10),材料力学,解：,（1）K点处的应力状态分析：,在K点取出单元体：,K,其横截面上的应力分量为：,（2）计算外力F：,由广义胡克定律：,7-4应力与应变间的关系(续11),材料力学,解得：,（3）计算外力偶m：,已知,式中,7-4应力与应变间的关系(续12),材料力学,由,解得：,因此:,7-4应力与应变间的关系(续13),材料力学,3.体积变形（体积应变）：,变形前单元体体积：,变形后单元体体积：,7-4应力与应变间的关系(续14),材料力学,单位体积变形：,（体积应变）,利用广义胡克定律：,式中：,（体积弹性模量）,（平均正应力）,（体积变形虎克定律）,7-4应力与应变间的关系(续15)