第五章 三大抽样分布,充分统计量5.4,5.5PPT课件.ppt

5.4三大抽样分布,大家很快会看到，有很多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的“三大抽样分布”。,5.4.12分布(卡方分布),定义5.4.1设X1,X2,Xn,独立同分布于标准正态分布N(0,1)，则2=X12+Xn2的分布称为自由度为n的2分布，记为22(n)。,2分布的密度函数曲线,这是一个特殊的Gamma分布(n/2,1/2),2分布的性质：分布可加性若X2(n1)，Y2(n2)，X与Y独立，则X+Y2(n1+n2).,当随机变量22(n)时，对给定(01)，称满足P(212(n)的12(n)是自由度为n1的卡方分布的1分位数.分位数12(n)可以从附表3中查到。,该密度函数的图像是一只取非负值的偏态分布,例设是取自总体N(0,4)的简单随机样本.当a=,b=时,则,解：由题意得,a=1/20b=1/100,5.4.2F分布,定义5.4.2设X12(m),X22(n),X1与X2独立，则称F=(X1/m)/(X2/n)的分布是自由度为m与n的F分布，记为FF(m,n)，其中m称为分子自由度，n称为分母自由度。其概率密度为,该密度函数的图象也是一只取非负值的偏态分布,2.F分布的分位点对于00满足PFF1-(m,n)=1-，则称F1-(m,n)为F(m,n)的下侧1-分位数,F分布性质:,5.4.3t分布,定义5.4.3设随机变量X1与X2独立，且X1N(0,1),X22(n),则称,的分布为自由度为n的t分布，记为tt(n)。,t(n)的概率密度为:,t分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些。,n1时,t分布的数学期望存在且为0；n2时，t分布的方差存在，且为n/(n2)；当自由度较大(如n30)时，t分布可以用正态分布N(0,1)近似。,自由度为1的t分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；,t(n)的性质:(1)p(t)关于t=0(纵轴)对称。(2)p(t)的极限为N(0，1)的密度函数.,分位点设Tt(n)，若对00，满足Ptt1-(n)=1-则称t1-(n)为t(n)的下侧1-分位点.,当随机变量tt(n)时，称满足P(tt1(n)=1的t1(n)是自由度为n的t分布的1分位数.分位数t1(n)可以从附表4中查到。譬如n=10,=0.05，那么从附表4上查得t10.05(10)=t0.95(10)=1.812.,由于t分布的密度函数关于0对称,故其分位数间有如下关系t(n1)=t1(n1),注:,证明：,所以,一般总体的结论,设X为总体,且E(X)=,Var(X)=2,为样本,且：,则：,5.4.4一些重要结论,定理5.4.1设x1,x2,xn是来自N(,2)的样本，其样本均值和样本方差分别为,和,x=xi/n,(3)(n1)s2/22(n1)。,则有,与s2相互独立；,(2)xN(,2/n)；,证明:,注：,推论5.4.1设x1,x2,xn是来自N(,2)的样本，其样本均值和样本方差分别为,和,x=xi/n,则有,推论5.4.2设x1,x2,xm是来自N(1,12)的样本，y1,y2,yn是来自N(2,22)的样本，且此两样本相互独立，则有,特别，若12=22，则,F=sx2/sy2F(m1,n1),推论5.4.3在推论5.4.2的记号下，设12=22=2，并记,则,课堂练习,设X1,X2,Xn是来自总体N(,2)的一个样本,则,服从什么分布？,2(n),课堂练习,设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,9).而X1,X2,X9和Y1,Y2,Y9分别是来自总体X和Y的样本，则统计量,服从()分布，参数为().,t,9,解:,故,所以,U与V独立,课堂练习,设X1,X2,Xn是来自总体N(,2)的一个样本,证明:Zt(2),5.5充分统计量,5.5.1充分性的概念,统计量是对样本的加工,目的,简化程度高；,信息的损失少,一大堆原始资料，经过加工成简单的后，一般来说在信息上会有损失。但也有可能，把样本X加工成后，抓住了问题的实质，中保留了样本X中所含参数的全部信息，所丢掉的只是无关紧要的东西。如果一个统计量满足这个要求，即使忘掉了样本X也能恢复参数的信息，则称此统计量为充分的。,例5.5.1为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果包含了两种信息：,(1)打靶10次命中8次；,(2)2次不命中分别出现在第3次和第6次打靶上。,第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。一般地，设我们对该运动员进行n次观测，得到x1,x2,xn，每个xj取值非0即1，命中为1，不命中为0。令T=x1+xn，T为观测到的命中次数。在这种场合仅仅记录使用T不会丢失任何与命中率有关的信息，统计上将这种“样本加工不损失信息”称为“充分性”。,样本x=(x1,x2,xn)有一个样本分布F(x)，这个分布包含了样本中一切有关的信息。,统计量T=T(x1,x2,xn)也有一个抽样分布FT(t)，当我们期望用统计量T代替原始样本并且不损失任何有关的信息时，也就是期望抽样分布FT(t)像F(x)一样概括了有关的一切信息，这即是说在统计量T的取值为t的情况下样本x的条件分布F(x|T=t)已不含的信息，这正是统计量具有充分性的含义。,关于样本X的信息可以设想成如下公式：,故为充分统计量的要求归结为：,后一项信息为0,与,无关,定义5.5.1设x1,x2,xn是来自某个总体的样本，总体分布函数为F(x;)，统计量T=T(x1,x2,xn)称为的充分统计量，如果在给定T的取值后，x1,x2,xn的条件分布与无关.,上述条件概率与无关，因此为充分统计量。,证：记，按定义只要证明下列条件概率与无关。当时有,例设为从0-1分布中抽取的简单样本，证明为充分统计量。,5.5.2因子分解定理,充分性原则：在统计学中有一个基本原则-在充分统计量存在的场合，任何统计推断都可以基于充分统计量进行，这可以简化统计推断的程序。,定理5.5.1设总体概率函数为p(x;)，X1,Xn为样本，则T=T(X1,Xn)为充分统计量的充分必要条件是：存在两个函数g(t;)和h(x1,xn)，使得对任意的和任一组观测值x1,x2,xn，有,p(x1,x2,xn;)=g(T(x1,x2,xn);)h(x1,x2,xn)(5.5.1),例5.5.4设x1,x2,xn是取自总体U(0,)的样本，即总体的密度函数为,其中g(t,)是通过统计量T的取值而依赖于样本的。,于是样本的联合密度函数为,取T=x(n)，并令g(t;)=(1/)nIt,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)是的充分统计量。,p(x1;)p(xn;)=,0,其它,(1/)n,0minximaxxi,由于诸xi0，所以我们可将上式改写为,p(x1;)p(xn;)=(1/)nI,x(n),例5.5.5设x1,x2,xn是取自总体N(,2)的样本，=(,2)是未知的，则联合密度函数为,取t1=xi,t2=xi2,