复变函数论第三版2.2_第1页
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文档简介

第二章复变函数,第二节初等解析函数(1),3、指数函数4、三角函数5、幅角函数,指数函数的定义：,我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：,由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有,所以，,因此，,我们也重新得到欧拉公式：,指数函数的基本性质,三角函数的定义：,由可得：,正弦函数和余弦函数的性质：,幅角函数：,因为复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数：,它本身不是一般意义下的初等函数。函数w=Argz有无穷个不同的值：,其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz),为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz,是一个单值连续函数。,注：除去负实轴得到区域D其实就是限定了定义域。,对一个固定的整数k，,也是一个单值连续函数。因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。我们首先研究下图的情形：,沿负实轴的割线：,一般区域：,一般区域（含无穷远点）：,结论：,对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将Argz分解成一些单值连续分支：,幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支,Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值。,例子：,在C上作割线,得到区域
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