北京理工大学工科数学分析7-9常微方程应用举例VIP

10应用举例,未知函数的变化率遵循明确的规律利用导数的几何意义列方程利用微元法列方程二阶微分方程的实例,用微分方程解决实际问题的一般步骤：,根据题意，建立起反映问题的微分方程及相应的初始条件；求出微分方程的通解或满足初始条件的特解；根据某些实际问题的需要，利用所求得的特解来解释问题的实际意义，或求得其它所需的结果。,一.未知函数的变化率遵循明确的规律,解：,由Newton冷却定律知：,解：,由题设条件,衰变规律,例3.人口预测问题。1.Macthus人口模型；2.阻滞增长模型（Logistic模型）。,1)Macthus人口模型(1798年),年增长率r不变。,基本假设：人口增长率为常数，即人口作为时间的函数，其变化率与当时的人口数成正比，比例系数称为人口增长率，其数学模型为：,实际应用时，把时间离散化，以年为单位，,这模型对有的国家或地区吻合较好，有的却不行，其原因是自然资源，环境条件等因素对人口增长起着重大的阻滞作用，为此，对上述模型做合理的修正。,人口以指数形式增长。,2)阻滞增长模型(Logistic模型),设人口增长率是人口的函数，设它为线性函数：,解此微分方程得:,二.利用导数的几何意义列方程,解：,两点间的距离公式为：,两边平方，化简，得：,解：,对上式求导，并整理，得：,在上式两端左变上限积分,例3.抛物线的光学性质,实例:车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,得微分方程,由夹角正切公式得,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,三.利用微元法列方程,解：,根据力学定律，液体从距离自由面深度为h的小孔流出时，其流速为：,例2.某容器内有100L盐水，其中含盐10kg，现以2L/min的速度注入井水，并以同样的速度使混合后的盐水流出，容器内有搅拌器。可以认为混合后的盐水在同一时刻，在每一点都有相同的浓度。试求容器内的含盐量，又几分钟后，溶液中含盐的百分比为3%？,解：,Step1列方程,用微元法,得到微分方程：,Step2求解初值问题,当含盐百分比为3%时，100L溶液中含3kg盐，代入Q(t)，得:,即超过1小时零2分，含盐量百分比为3%。,四.二阶微分方程的实例,hw：p4321,3,5,6,13,16,19,21,28.,解：,取坐标系如图所示，平衡位置取为原点,运动开始后，B离开平衡位置的距离x是时间t的函数：,B所受的外力有两部分组成：,由Newton第二定律知：,特征方程：,其中：,建立微分方程解决应用问题，应注意：,1.建立微分方程的基本条件：,1).要熟悉能用导数表示的各种常见的变化率，如,2).要熟悉与问题有关的各种定律、原理、原则，如,力学中运动所遵循的牛顿第二定律、牛顿万有引力定律；,牛顿冷却定律、傅立叶热传导定律；,弹性变形问题中的胡克定律；,流体力学中的阿基米德原理；,电学中的基尔霍夫定律，化学中的质量作用定律等；,变化问题中常常遵循的原则：,净变化率(改变率)=输入率-输出率,2.建立微分方程及求解的注意点：,1)若问题要求“运动规律”，“变化规律”，“对应规则”等，则需用微分方程解决问题.可考虑是否遵循什么定律或原理，或考虑用微元法导出微分方程；,2）问题给出在某特定时刻或特定位置的信息时，据此写出定解条件或确定解中的有关常数，如积分常数，比例系数等；,3)微分方程的有关各项应采用同样的单位；,4)得出解之后，检查结果是否与实际问题相符？,不完全符合实际的可能性的原因：,(1)解微分方程过程中的增解；,(2)建立方程时略去的与问题相关的“次要因素”，因此得到的是近似解，从而与实际情况有差距.,3.用微分方程解应用问题的一般步骤：,1)分析问题，建立微分方程：写出定解条件；注意单位统一；,2)求出微分方程的解(通解)，或根据定解条件，确定积分常数(包括比例系数)；,3)检查解的合理性，回答问题，必要时修改模型，对问题作进一步的探讨.,(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最