动力学基本方程 1

,TheoreticalMaterials理论力学,第十章动力学基本方程,2020年6月8日,第十章动力学基本方程,10-1动力学基本方程,10-2质点的动力学基本方程,10-3质点动力学的两类基本问题,一.研究对象：,二.力学模型：,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。,1.质点：有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。,引言,三、动力学分类:,质点动力学质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四、动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。,舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞,工程实际中的动力学问题,若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。,若已知推力和跑道可能长度，则需要多大的初速度和一定的时间隔后才能达到飞离甲板时的速度。,载人飞船的交会与对接,航空航天器的姿态控制,高速列车的振动问题,第一定律(惯性定律):,不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,1687年，牛顿在总结前人工作的基础上，发表了其名著自然哲学之数学原理，明确地提出了牛顿运动三定律。,(1)惯性是物体保持运动状态的的固有属性,(2)力是改变质点运动状态的原因,10-1动力学基本定律,第二定律,该式建立了质量、力和加速度三者之间的关系，称为动力学基本方程。,(2)该式是推演其它动力学方程的出发点。,(3)质量是物体惯性大小的度量。,(4)质量与重量之间的区别与联系。,第三定律(作用与反作用定律):,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。,惯性参考系,在动力学中把适用于牛顿定律的参考系称为惯性参考系。,在工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系为惯性参考系。,将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,1.矢量形式,2.直角坐标形式,10-2质点的动力学基本方程,3.自然形式,质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题以及综合问题。,一、第一类问题：已知运动求力（微分问题）,解题步骤和要点：,选择研究对象（选择联系已知量和待求量的质点）。,受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。,正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。,选择并列出适当形式的质点运动微分方程。,求解未知量。,10-3质点动力学的两类基本问题,例10-1质点的质量m=0.1kg，按的规律作直线运动，x单位为米（m），时间t的单位为秒（s），试求该质点所受的力，并求其极值。,【解】此题已知运动求力，属于动力学第一类问题。当质点作直线运动时，其运动微分方程为,则作用在该质点上的力为,（1）,将式（1）对时间t求导并令其等于零,得时间为,将式（2）代入式（1）得作用在该质点上的最小力为,（2）,（1）,例11-2起重机跑车吊一重物G，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,刹车后，重物作圆弧摆动。,自然形式的质点运动微方程,【解】,G,由（2）式解得：,讨论：减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。拉力FTmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力，一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,二、第二类问题：已知力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,解题步骤如下：正确选择研究对象。正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。,选择并列出适当的质点运动微分方程。,求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积利用运动的初始条件，求出质点的运动。,例11-3炮弹以初速度发射，与水平线的夹角为，如图所示。不计空气阻力和地球自转的影响，求炮弹在重力作用下的运动方程和轨迹。,【解】,第二类问题。质点运动微分方程,积分后得,再积分得,初始条件为,由初始条件得,轨迹方程为：,由此可见，物体的轨迹是一抛物线。,于是物体的运动方程为：,例10-4质点的质量m，在力的作用下，沿x轴作直线运动，式中、为常数，当运动开始时即，试求质点的运动规律。,解：此题已知力求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函数。质点运动微分方程为,上式分离变量并积分，得,又,解得,例10-5质量为m小球在液体中下落，试求小球的速度。,解:,上式改写为,分离变量,改写为,令,则,积分得,初始条件为,得,时，,称为极限速度。,有,整理为,例10-6发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。,解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。火箭在任意位置x处受万有引力F的作用。,在地球表面有：,所以,物体的运动微分方程为：,由于,可将上式改写为,分离变量得：,对上式积分,得,解出物体在任意位置的速度为,（第二宇宙速度）,若，则不论x为多大，甚至为无限大时，速度v均不会减小为零，因此欲使物体向上发射一去不复返时必须具有的最小速度为,例11-7圆锥摆,如图。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成角。小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。,已知:,求:,研究小球，这是混合问题。,其中,解得,【解】,法向,副法向,例10-8质量为m的物体从固定的半圆柱体顶点A无初速地下滑，如图所示。不计摩擦，求物体脱离半圆柱体的位置，用角度表示。,解