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文档简介

6.5Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想(1),Runge-Kutta法的基本思想(2),Runge-Kutta法的基本思想(3),二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,解:,经典的四阶Runge-Kutta公式:,同保留5位的精确值完全一致:,二、高阶和隐式Runge-Kutta方法,注:对于显式N级R-K方法,最多只能得到N级方法;,已经证明N级R-K方法的阶具有下列关系:,若要得到N阶以上方法,则使用N级隐式R-K方法,N级隐式R-K方法的一般形式:,(1)一级二阶的隐式中点方法:,(2)二级四阶的隐式R-K方法:,三、变步长方法,基本思想:根据精度自动地选择步长,对于经典Runge-Kutta方法:,Step1:设从出发,以为步长,经过一步计算得到,Step2:取为步长,再从出发,经过两步计算得到,一、收敛性/*Convergence*/,3单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性,类似地可以定义隐式单步法、多步法(4)的收敛性,证明:,记,由截断误差的定义,因为单步法是阶的:,满足,其中,二、绝对稳定性/*AbsoluteStibility*/,计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响,首先以Euler公式为例,来讨论一下舍入误差的传播:,例如:,对于初值问题,精确解为,而实际求解的初值问题为,精确解为,在处的误差为,如果初值问题为,精确解为,实际求解的初值问题为,精确解为,在处的误差为,若单步法是阶的,则,由实验方程可得:,例3:分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。,解:,Euler公式:,将其应用于实验方程,绝对稳定域:,当时,,绝对稳定区间:,经典的R-K公式:,当时,,可以证明:存在唯一极小值点,由得,例4:求梯形公式(隐式方

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