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文档简介

6.5Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一、Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Kutta法的基本思想（3）,二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,解：,经典的四阶Runge-Kutta公式：,同保留5位的精确值完全一致：,二、高阶和隐式Runge-Kutta方法,注：对于显式N级R-K方法，最多只能得到N级方法；,已经证明N级R-K方法的阶具有下列关系：,若要得到N阶以上方法，则使用N级隐式R-K方法,N级隐式R-K方法的一般形式：,(1)一级二阶的隐式中点方法：,(2)二级四阶的隐式R-K方法：,三、变步长方法,基本思想：根据精度自动地选择步长,对于经典Runge-Kutta方法：,Step1:设从出发，以为步长，经过一步计算得到,Step2:取为步长，再从出发，经过两步计算得到,一、收敛性/*Convergence*/,3单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性,类似地可以定义隐式单步法、多步法（4）的收敛性,证明：,记,由截断误差的定义,因为单步法是阶的：,满足,其中,二、绝对稳定性/*AbsoluteStibility*/,计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响,首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:,例如：,对于初值问题,精确解为,而实际求解的初值问题为,精确解为,在处的误差为,如果初值问题为,精确解为,实际求解的初值问题为,精确解为,在处的误差为,若单步法是阶的，则,由实验方程可得：,例3：分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。,解：,Euler公式：,将其应用于实验方程,绝对稳定域：,当时，,绝对稳定区间：,经典的R-K公式：,当时，,可以证明：存在唯一极小值点,由得,例4：求梯形公式（隐式方
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