数学北师大版 命题及其关系充分条件与必要条件

1.了解“p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.,1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题.其中的语句叫真命题，的语句叫假命题.,判断,为假,判断真假,判断为真,2.四种命题及其关系,(1)四种命题,(2)四种命题间的逆否关系,(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性,没有关系.,相同,思考探究一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？,提示：不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论.,3.充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的，q是p的；(2)如果pq，qp，则p是q的.,充分条件,必要条件,充要条件,1.下列语句是命题的是()(1)这条河是一条小河；(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(3)一个数不是合数就是质数；(4)大角所对的边大于小角所对的边；,(5)xy是有理数，则x，y也都是有理数；(6)求证：xR，方程x2x10无实数根.A.(1)(2)(3)B.(3)(4)(5)C.(4)(5)(6)D.(1)(2)(3)(4)(5),解析：(1)河的大小没有确切的定义，所以也不能判断真假.(2)疑问句，不是命题.(3)是命题.(4)是命题.(5)是命题.(6)祈使句，不是命题.,答案：B,2.给出命题：若函数yf(x)是幂函数，则函数yf(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0,解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题只有一个.,答案：C,3.“x0”是“x0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,解析：“x0”等价于“x0或x0”，“x0”“x0或x0”，“x0”“x0或x0”.,答案：A,4.设A、B为两个集合，下列四个命题：AB对任意xA，有xB；ABAB；ABAB；AB存在xA，使得xB.其中真命题的序号是(把符合要求的命题序号都填上).,解析：若A1,2,3，B2,3,4，则集合A、B满足AB.但2A,2B，故、错.若取A1,2,3，B2,3，则集合A、B满足AB，但AB，故是错误的.显然正确.,答案：,5.已知P：xy2009；Q：x2000且y9,则P是Q的条件.,解析：“若P则Q”的逆否命题是x2000或y9xy2009.逆否命题不成立，原命题不成立.显然其逆命题也不成立.,答案：既不充分又不必要,1.命题真假的判定对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.,2.四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假.,特别警示当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动.,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假：(1)若q1，则方程x22xq0有实根；(2)若x、y都是奇数，则xy是偶数；(3)若xy0，则x0或y0；(4)若x2y20，则x、y全为0.,思路点拨,课堂笔记(1)原命题是真命题；逆命题：若方程x22xq0有实根，则q1，为真命题；否命题：若q1，则方程x22xq0无实根，为真命题；逆否命题：若方程x22xq0无实根，则q1，为真命题；命题的否定：若q1，则方程x22xq0无实根，为假命题.,(2)原命题是真命题；逆命题：若xy是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则xy不是偶数，是假命题；逆否命题：若xy不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题；命题的否定：若x、y都是奇数，则xy不是偶数，是假命题.(3)原命题为真命题；逆命题：若x0或y0，则xy0，是真命题；否命题：若xy0，则x0且y0，是真命题；逆否命题：若x0且y0，则xy0，是真命题；命题的否定：若xy0，则x0且y0，是假命题.,(4)原命题为真命题.逆命题：若x、y全为0，则x2y20，为真命题；否命题：若x2y20，则x、y不全为0，为真命题；逆否命题：若x、y不全为0，则x2y20，为真命题；命题的否定：若x2y20，则x、y不全为0，是假命题.,1.利用定义判断(1)若pq，则p是q的充分条件；(2)若qp，则p是q的必要条件；(3)若pq且qp，则p是q的充要条件；(4)若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；(5)若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；(6)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.,2.利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，且AB，则p是q的既不充分也不必要条件.,特别警示从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.,指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：ab2，q：直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切；(2)p：|x|x，q：x2x0；(3)设l，m均为直线，为平面，其中l，m，p：l，q：lm；(4)设(，)，(，)，p：，q：tantan.,思路点拨,课堂笔记(1)若ab2，圆心(a，b)到直线xy0的距离，所以直线与圆相切，反之；若直线与圆相切，则|ab|2，ab2，故p是q的充分不必要条件.(2)若|x|x，则x2xx2|x|0成立；反之，若x2x0，即x(x1)0，则x0或x1.当x1时，|x|xx，因此，p是q的充分不必要条件.,(3)llm，但lml，p是q的必要不充分条件.(4)x(，)时，正切函数ytanx是单调递增的，当(，)，(，)，且时，tantan，反之也成立.p是q的充要条件.,1.条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.,求证：关于x的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是m2.,思路点拨,课堂笔记(1)充分性：因为m2，所以m240，方程x2mx10有实根.设x2mx10的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x210.所以x1、x2同号.又因为x1x2m2，所以x1、x2同为负根.,(2)必要性：因为x2mx10的两个实根x1、x2均为负，且x1x21，所以m2(x1x2)2(x1)2，所以m2.综合(1)(2)知命题得证.,若关于x的方程x2mx10有两个正实根，求m的取值范围？,即,m2.即m的取值范围为m|m2.,解：方程x2mx10有两个正实根，,有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的分析研究，可以发现高考考题的常见类型为“直接考查条件和结论之间的充要关系”另一类题目，考查角度比较独特，如(2008全国卷)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：,充要条件；充要条件.这类题目开放性较强，尽管答案不唯一，但能充分考查考生的综合能力，在2009年的福建高考试题中也有体现.,考题印证(2009福建高考)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()A.m且l1B.ml1且nl2C.m且nD.m且nl2,【解析】ml1，且nl2，又l1与l2是平面内的两条相交直线，而当时不一定推出ml1且nl2.,【答案】B,自主体验函数f(x)ax3ax22ax2a1的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A.aB.1aC.aD.2a0,解析：f(x)a(x2)(x1)，函数f(x)在x2和x1处取得极值，如图所示，,要函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是f(2)f(1)0，解之得a.在四个选项中只有(1，)(，).,答案：B,1.若条件p：|x1|4，条件q：x25x6则p”是“q”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件,解析：p：5x3，则p：x5或x3；q：2x3，则q：x2或x3，p是q的充分不必要条件.,答案：A,2.命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()A.若x21，则x1或x1B.若1x1，则x21C.若x1或x1，则x21D.若x1或x1，则x21,解析：若原命题是：若p则q，则逆否命题为若q，则p，故此命题的逆否命题为：若|x|1，则x21，即若x1或x1，则x21.,答案：D,3.(2010平顶山模拟)命题“若方程x2a0无实根，则a0”其中原命题、逆命题、否命题、逆命题中，正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个,解析：若方程x2a0无实根，则a0.(真命题)逆命题：若a0，则方程x2a0无实根.(假命题)否命题：若方程x2a0有实根，则a0.(假命题)逆否命题：若a0，则方程x2a0有实根.(真命题),答案：B,4.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空：(1)“ab0且ab0”是“a0且b0”的；(2)“x1”是“1”的；(3)“x2”是“x27x100”的.,解析：(1)ab0且ab0，a，b同号且都是负数.即ab0且ab0a0且b0.又a0且b0，ab0，ab0，即a0且b0ab0且ab0，“ab0且ab0”是“a0且b0”的充要条件.,(2)x1时，1成立，即x11，又1时，x未必大于1(如x3)，即1x1，“x1”是“1”的充分条件.(3)当x2时，x27x10414100，x2x27x100；当x27x100时，则x12，x25，x27x100 x2，“x2”是“x27x100”的充分条件.,答案：(1)充要条件(2)充分条件(3)充分条件,5.有三个命题：(1)“若方程ax210有一个负根，则a0”的逆命题；(2)“若ab，则a2b2”的逆否命题；(3)“若x3，则x2x60”的否命题.其中真命题的个数为.,解析：(1)真；(2)原命题假，所以逆否命题也假；(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命