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第二讲（四）渐开线与摆线,（一）、问题探究1,把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。,动点（笔尖）满足什么几何条件？,一、新课教学,这条曲线的形状怎样？,能否求出它的轨迹方程？,2,3,我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆,2、圆的渐开线的方程求解,以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。,设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标（x，y），显然，点M由角唯一确定。,4,1.圆的渐开线定义,这就是圆的渐开线的参数方程。,2、圆的渐开线的方程求解,5,所以即,渐开线的参数方程,3、渐开线的应用：,由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。,设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。,在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。,6,平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）,直齿,7,齿轮齿条,8,内齿轮,9,交错轴齿轮传动机构,斜齿,10,蜗杆蜗轮,11,人字齿,12,直齿,相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）,13,斜齿,14,准双曲面齿轮,15,（二）、问题探究2,如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？,16,同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。,我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。,摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱,线段OA的长等于的长，即OA=r,1、摆线的定义,17,2、摆线方程的求解,根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。,设圆的半径为r。,设开始时定点M在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点A，圆心在点B,18,2、摆线方程的求解,设点M的坐标为（x,y）,取为参数，根据点M满足的几何条件有,所以，摆线的参数方程为：,19,3、摆线的参数方程,在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？,思考,20,说明,2）、当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。,4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。,1）、摆线是研究一个动圆在一条曲线
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