09 圆与圆的位置关系教师2015暑假 初三数学培优进度二VIP

1 / 8 第九讲 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系：圆心距与半径和差来比较 设两个圆的圆心为 12 ,O O， 半径为 12 , r r （假设 12 rr） 那么两圆具有如下位置关系： 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 外离 1212 OOrr， 外切 1212 OOrr， 相交 121212 rrOOrr； 内切 1212 OOrr， 内含 1212 0OOrr （特别的，当 12 0OO 两个圆称为同心圆） 两圆的位置关系可用如右数轴判断： 二、两个圆连心线的性质： 当两个圆相交时， 两圆的连心线（联结两个圆心的直线）垂直平分两圆的公共弦 当两圆相切时，两圆的连心线必经过两圆的切点 相交外离 外切 内切 内含 r1+r2 O1O2o r1-r2 2 / 8 【例题1】 已知 1 O、 2 O的半径长分别为 1 厘米和 3 厘米， 根据下列条件， 指出两圆的位置关系： （1） 12 5OO 厘米； （2） 12 4OO 厘米； （3） 12 3OO 厘米； （4） 12 2OO 厘米； （5） 12 1OO 厘 米 解： （1） 1212 OOrr外离，4 条 （2） 1212 OOrr外切，3 条 （3） 211212 rrOOrr相交，2 条 （4） 1221 OOrr内切，1 条 （5） 1221 OOrr内含，0 条 【例题2】 分别以 1 厘米、1.5 厘米、2 厘米为半径长作圆，使它们两两外切 设三个圆圆心为 123 ,O O O 则 122313 2.5,3.5,3OOO OOOcm 123 ,O O O构成 123 OO O 画出 123 OO O，再分别画圆 【例题3】 已知：如图， 1 O与 2 O相切于点T，经过点T的直线与 1 O、 2 O分别相交于另一 点A和B求证： 12 / /O AO B 解：连 12 OO，由连心线性质 12 OO经过切点T 11 O AOT O2 O1 T B A O2 O1 T B A 3 / 8 1A ，同理2B 且12,AB 12 / /O AO B 【例题4】 已知相交两圆的半径长分别为 15 和 20，圆心距为 25，求两圆的公共弦的长 解： 121212 rrOOrr 相交，设公共弦为,AB AB与 12 OO交于E 则 1212 15,20,25O AO AOO 2220 121212 ,90O AO AO OO AO 12 12 12 O A O A AE OO ，由连心线性质， 12 OOAB 224ABAE 【例题5】 已知P是半径长为 8 的O内的一点，且5OP ，以P为圆心的P与O内切，求 P的半径长 解：P与O只有一条公切线 P与O内切 12 OPrr 22 85,13rr或 3 O2 O1 T B A O2 O1 T B A A O2 O1 B E 4 / 8 【例题6】 如图所示，AB为O的直径，ADBCCD、是O切线， 切点分别为ABEDO、 、 ， 交AE于FOC，交BE于G （1）求证：CODO； （2）四边形EFOG是矩形； （3） 2 FGAD BC 证： （1）DADE、是切线 OD平分ADE，同理OC平分BCD 1 () 2 ODCOCDADEBCE 依题意 0 /,180ADBCADEBCE 0 90ODCOCD 则 0 90 ,CODOCOD （2）由切线长定理，,DADE OD平分ADE ,DOAE同理OCBE 0 90EFOEGO，则EFOG为矩形 （3）Rt DOC中，OECD于E 2 OEDE CE 且,OEFG DEDA CECB 2 FGAD BC 【例题7】 如图，AB 是O 的直径，DE 切O 于 C，且 ADDE，BEDE， 求证： （1）CD=CE； （2）以 C 为圆心，CD 为半径的C 和 AB 相切 A B O C D E 3 21 H A B O C D E F H A B O C D E FG ABO C D E FG ABO C D E 5 / 8 证法 2：作 AFOC 于 F，易证 CH=AF=CD，C 和 AB 相切 【例题8】 已知24ABAD，90DAB，ADBC（如图 13） E是射线BC上的动点 （点E与点B不重合） ，M是线段DE的中点 （1）设BEx，ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A ND， ，为顶点的三角形与BME相似，求线段BE 的长 解： （1）取AB中点H，联结MH， M为DE的中点，MHBE， 1 () 2 MHBEAD （1 分） 又ABBE，MHAB （1 分） 1 2 ABM SAB MH ，得 1 2(0) 2 yxx； （2 分） （1 分） （2）由已知得 22 (4)2DEx （1 分） 以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， 11 22 MHABDE，即 22 11 (4)2(4)2 22 xx （2 分） 解得 4 3 x ，即线段BE的长为 4 3 ； （1 分） （3）由已知，以A ND， ，为顶点的三角形与BME相似， 又易证得DAMEBM （1 分） B A D M E C 图 13 B A D C 备用图 6 / 8 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：ADNBEM；ADBBME 当ADNBEM时，ADBE，ADNDBEDBEBEM DBDE，易得2BEAD得8BE ； （2 分） 当ADBBME时，ADBE，ADBDBE DBEBME又BEDMEB，BEDMEB DEBE BEEM ，即 2 BEEM DE，得 22222 1 2(4)2(4) 2 xxx 解得 1 2x ， 2 10 x （舍去） 即线段BE的长为 2 （2 分） 综上所述，所求线段BE的长为 8 或 2 【例题9】 在等腰ABC 中，已知 AB=AC=3， 1 cos 3 B，D 为 AB 上一点，过点 D 作 DEAB 交 BC 边于点 E，过点 E 作 EFBC 交 AC 边于点 F （1）当 BD 长为何值时，以点 F 为圆心，线段FA为半径的圆与 BC 边相切？ （2）过点 F 作 FPAC，与线段 DE 交于点 G，设BD 长为x，EFG 的面积为y，求y关于x的函数 解析式及其定义域 解：(1)过点 A 作 AMBC，垂足为点 M，1 分 在 RtABM 中， 1 cos 3 B，AB=3，BM=11 分 AB=AC， AMBC，BC=21 分 设 BD 长为x，在 RtBDE 中， 1 cos 3 B，BE=3x，EC=2 3x 同理 FC=6 9x，FE=4 26 2x ，1 分 AF=93x， 1 分，由题意得93x=4 26 2x， 解得2 2 3 7 x (2) DEAB，EFBC，90BBED ，90DEFBED， BDEF 1 分，同理EFGC，ABCEFG1 分 2 () EFG ABC SEF SBC 1 分 2 4 26 2 ( 22 2 ) yx 2 36248 216 2yxx 62 () 113 x4 分 F EBC A D G F EBC A D 7 / 8 【作业1】 如图，以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点，P 是M 上异于 A、B 的一动点，直线 PA、PB 分别交 y 轴于 C、D，以 CD 为直径的N 与 x 轴交于 E、F，求 EF 的长 解：连接 NE，设圆 N 半径为 r，ON=x，则 OD=rx，OC=r+x， 以 M（5，0）为圆心、4 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两点， OA=4+5=9，0B=54=1， AB 是M 的直径，APB=90 （直径所对的圆周角是直角）， BOD=90 ，PAB+PBA=90 ，ODB+OBD=90 ， PBA=OBD，PAB=ODB，APB=BOD=90 ， OBDOCA，=，即=，解得：（r+x）（rx）=9， r2x2=9，由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2ON2=r2x2=9， 即 OE=OF=3，EF=2OE=6， 8 / 8 1、 （1）如图 1，已知 A 点坐标为（0，3） ，A 的半径为 1，点 B 在 x 轴上 若 B 点坐标为（4，0） ，B 的半径为 3，试判断A 与B 的位置关系； 若B 过点 M（2，0） ，且与A 相切，求 B 点坐标 （2）如图 2，点 A 在 y 轴上，A 在 x 轴的上方 问：能否在 x 轴的正半轴上确定一点 B，使B 与 y 轴相切，并且与A 外切，为什么？ 解： （1）AB= 22 43 315 ，两圆外离； 若外切， 设B （x， 0） ， 则AB=9 2 x， 则AB= 9 2 x|12| x， 则 x=0，B（0，0） ； 若内切，AB= 9 2 x|12| x，x=-4，B（-4，0） （2）能 过 A 作 ADx 轴，连接 OD 交A 于 C，连接 AC 并延长交 x 轴于 B，则以 B 为圆心，以 OB 为半径的 B 与 y 轴相切，并且与A 外切 理由如下： ADx 轴，ADO=BOD；AC=AD，ADC=ACD， OCB=BOC，BC=O