12 二次函数的图像性质一教师

第十二讲 二次函数的图像性质一 【二次函数的概念】一般地，解析式形如（其中是常数，且）的函数叫做二次函数（quadratic function）二次函数的定义域为一切实数【二次函数图像特征】抛 物 线：二次函数的图像是一条曲线，类似于抛出物体在空中所经过的路线，所以称为抛物线二次函数的图像，叫做抛物线（1）当时开口向上；当时开口向下（2）、符号相同时对称轴在轴左侧；、符号不同时对称轴在轴右侧（左同右异）（3）当时抛物线顶点为最低点，顶点纵坐标为函数最小值； 当时抛物线顶点为最高点，顶点纵坐标为函数最大值（4）当时对称轴左侧随增大而减小，对称轴右侧随增大而增大；（左降右升）当时对称轴左侧随增大而增大，对称轴右侧随增大而减小（左升右降）【例题1】 判断下列函数是否是二次函数，并说明理由 （1）； （2）；（3）； （4）.解析：（1）是二次函数；（2）中含有分式，所以不是二次函数；（3）化简后得到，是一次函数；（4）中自变量的最高次数大于，也不是二次函数.【例题2】 （1）形如的函数只有在_的条件下才是二次函数（2） 取哪些值时，函数是以为自变量的二次函数？（3）若函数是以为自变量的一次函数，则取哪些值？解：（1）是常数，且（2）由，得且，当且时，函数为二次函数；（3）由题意得：，解得，【例题3】 运用“列表、描点、连线”的方法在一个直角坐标系中分别作出下列函数的图像，并分析图像特征和关系填入表中（1），（2），（3）， 性质函数开口方向对称轴顶点（最值点）随的变化情况位置关系向上轴左降右升关于轴对称向下轴左升右降向上轴左降右升前者向下平移两个单位得到后者向上轴左降右升向下直线左升右降前者向右平移两个单位得到后者向下直线左升右降【例题4】 分别写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并根据这三个图像特征作出它们的大致图像（要能反映图像特征） （1）； （2）； （3）解：（1）开口向上，轴，（0，0） （2）开口向下，轴，（0，2）（3）开口向上，直线，（）【例题5】 在同一直角坐标系中与（）的图像的大致位置是（ D ）【例题6】 已知是二次函数，且当时，图像呈上升趋势 （1）求的值； （2）求函数图像的顶点坐标和对称轴解：（1）由题意知：，解得（2）二次函数为，图像得顶点坐标为，对称轴是直线，即轴【例题7】 求符合下列条件的抛物线的函数关系式：（1）通过点；（2）与的开口大小相同，方向相反；（3）当的值由增加到时，函数值减少解：（1），解得，故（2）由已知，得，故（3）当时，；当时，故，即【例题8】 已知二次函数的图像与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点（1）求的值；（2）求点的坐标；（3）该二次函数图像上有一点，使，求点的坐标解：（1）；（2）；（3）、【例题9】 已知正方形的周长为，面积为（1）求和之间的函数解析式，并画出函数图像；（2）根据函数图像，求出时该正方形周长；（3）根据函数图像，求出时的取值范围解：（1）由题意得：()列表画图略（2）根据图像得时，正方形的周长为（3）根据图像得，当时，注意：此函数图像在第一象限，且原点处为空闲点横纵轴字母应为题中的字母、，不要习惯性地写出、 【例题10】 我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格元/千克收购了这种野生菌千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计元，而且这类野生菌在冷库中最多保存元，同时，平均每天有千克的野生菌损坏不能出售（1）设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式（2）若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）解：由题意得与之间的函数关系式（，且整数）由题意得与之间的函数关系式由题意得当时，天天，存放天后出售这批野生菌可获得最大利润元（也可以用抛物线的顶点坐标公式求最值）点评：本题主要考查的应用二次函数的建模思想解决实际问题，在配方求二次函数的最大值，注意判断【例题11】 如图，在中，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）如果、分别从、同时出发，那么经过几秒，四边形的面积最小，最小面积为多少？解：设，则 经过秒，四边形的面积最小，最小面积为总结：抛物线（其中是常数，且）的图像性质如下：（1）对 称 轴：是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线；（2）顶点：；（3）开口方向：当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点【例题12】 利用配方法，把下列函数写成的形式（顶点式），并写出它们图像的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1）； （2）