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12.3角的平分线的性质滨海实验学校陆金焱,知识回顾,角的平分线的定义是什么？,想一想：为什么OC是角平分线呢？,已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分AOB.,证明：连接CM，CN在OMC和ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，OMCONC（SSS）MOC=NOC即：OC平分AOB,A,B,操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.,问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,求证：角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E求证：PD=PE,证明:1=2,OP=OPPDO=PEO=90PDOPEO(AAS)PD=PE(全等三角形的对应边相等),C,1,2,角平分线的性质定理,定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP是AOB的平分线PEOA，PFOB,PD=PE,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF.（2）如图2，P是AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.,（3）如图3，在AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离为3cm.,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E，PD=PE。,求证：点P在AOB的平分线上。,证明:在RtODP和RtOEP中,ODP=OEP=90OP=OP,PD=PERtOPDRtOPE(HL),角的内部到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,定理,定理2的应用书写格式：,PD=PE,（角的内部到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）,用途：判定一条射线是角平分线,PDOA，PEOB,P在AOB的平分线上。,例题讲解例已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,3角的平分线的性质定理1，定理2是证明角相等，线段相等的新途径。定理1多用于证明线段相等，定理2多用于证明角相等或点在角平分线上。,1角的平分线上的点到这个角的两边的
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