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第七章常微分方程,高等数学所研究的函数，是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系。但在实际问题中遇到稍为复杂的一些运动时，反应量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易地建立起这些变量及它们的导数（或微分）间的关系。这中联系着自变量、未知函数及它的导数（或微分）的关系式，数学上称为微分方程。,解,一、问题的提出,1.微分方程的基本概念,P294-1,解,P294-2,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程:凡表示未知函数、未知函数的导数或微分及自变量之间关系的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,P297-3,所求特解为,问题1：是否所有的微分方程都存在通解？,以上三个方程，有的没有实函数解；有的有解，但解中不含任意常数。所以，上述三个方程都不存在通解。,问题2：微分方程的通解是否包含它所有的解？,答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。,特殊的：未知函数的最高阶导数的系数为1的线性微分方程的通解能包含所有的解。,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,小结,本节基本概念：,思考题,思考
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