微分方程数值解

讲义：求常微分方程初值问题的公式结构技术和相关知识。 重点论述了：欧拉法、Runge-Kutta法和线性多步法的原理、结构、局部截断误差和稳定性等。 步长：数值解一般是从初始值递归地求出，1，常微分方程式初始值问题，1 )一般形式，已知函数，初始条件，2 )数值方法，3 )数值解，区间a，b上的一系列节点，即：初始值问题的解法是单步法和多步法2、基本思想、数值微分法、数值积分法、Taylor展开法等离散化方法将初始值问题作为差分方程式求解。 将初始值变成差分方程式的方法：1)用离散的方法去除微分方程式的微分系数，得到近似离散方程式；2 )在近似离散方程式中，3 )置换为“=”，3 )在结构过程、1 )在数值微分法中，得到近似离散方程式， 在数值微分的两点前差分方程中，用某一初始值问题变为差分方程代替导数的方法得到差分方程，并进行”组织，Euler方程是显式的一步法。 在、2 )数值积分法采用数值积分并得到近似离散方程式梯形法为隐式单阶段法、3)Taylor展开法时，函数y(x )的Taylor展开式取上式右端的前两项，得到近似离散方程式：7.3的数值解法的误差、阶段和绝对稳定性可以看出，、1 )单步法的数学描述，显式：隐式：递增函数和f(x，y )有关。 2 )关于函数y(x )的一些说明为、解y(x )为正确值且无误差，其近似值为数值解且具有截止误差；计算，给出计算解且具有舍入误差。 3 )方法的误差、阶数、稳定性、总阻断误差：部分阻断误差：p阶数方法(精度) :方法的阶数越高，方法越好。重要的部分截断误差：14，或当函数f(x )有x的附近存在n-1阶导数时函数f(x )展开为x的泰勒方程式：介于x与x之间。 由于f(x):例如：的常微分方程的初始值问题的单步方法是，和这里的初始值问题与步骤h是解：所以局部截止误差的主要项是高精度的。 兄弟无限小o演算规则：数值方法为绝对稳定：的舍入误差、实验方程式、绝对稳定区间：绝对稳定区域与复平面实轴的交叉。 绝对稳定区域越大，方法的绝对稳定性越好。 有关7.4欧拉法的问题，常称为、1、欧拉法的几何意义，欧拉法称为折线法。 2、Euler法的误差、Euler法的局部截断误差：Euler法的整体截断误差：表示Euler法计算的数值解可以接近正确的解，Euler法收敛了。 3、将Euler方法的稳定性、Euler方程式使用于实验方程式：来设计计算时，具有舍入误差：Euler方法的绝对稳定区域为Euler方法的绝对稳定区域为22；指定负实数时，满足步骤h 例：将初始值的问题设为、h=0.025，用欧拉法求出数值解，并与正确的解进行比较。 解、正题正解是，Euler法的计算公式，与直接计算结果对应的正确值的误差如下表所示，计算结果的变动大，不稳定，计算结果失真的原因： h的稳定性范围是正题的h=0.0250.02，因此计算结果不稳定。 4、改进的Euler方法，预测：校正：称为预测-校正公式。 容易证明也是次要的方法。 将Euler法、梯形法、7.5Runge-Kutta法、2、基本思想、微分方程式的初始值问题转换为积分方程式问题，对积分方程式中的定积分采用未定的m点插值型构建积分方程式，得到高阶值法。 理论上，可以通过Taylor展开法构筑解初始值问题的高次数值方法，但这与计算的高次导数有关，因此不方便。本节的Runge-Kutta方法从函数本身着手，避开计算的高次导数构筑高次数值方法。 利用、3、结构原理、m个点的插值型求出积分式，近似离散化方程式，利用R-K通式、Taylor展开式适当选择参数，从而构筑高次方法。 Runge-Kutta方法的递增函数；Runge-Kutta方法；4；结构过程；m=2；runge-kutta方法的结构过程方程有三个方程的四个参数，由于有无穷多，例如改进的欧拉公式，5，Runge-Kutta法的阶与阶的关系，f(x，y ) 计算的次数m 33605252525252525252525252525252525252525252525252525252525252532222222222222222222222222222222222222226，分析、参考：二阶法、7.6线性多阶法、1、概念另外，2、方法构造，1 )对基于数值积分的构造方法、y=f(x，y )两边进行积分而得到，将针对右端的定积分选择的不同的内插函数代替被积分函数，则得到计算式。 Adams法给出构造过程：初始值问题的解y(x )在n点的数值解，考虑数学表，构建f(x，y(x ) )的n-1次Lagrange插值多项式，在积分中设为m=1。 有定积分，n步Adams外插式，解：取与相邻的3个等长节点对应的数据，例：构造3次Adams表示式。 进行、二阶Lagrange插值多项式，得到、三阶Adams外推式，其局部截断误差用基于、Taylor展开的结构方法、方法、*首先给出线性多阶段法的公式模式的*局部截断误差公式进行Taylor展开，决定公式的系数。 求初始值问题的