w11-质点的运动微分方程

1,第三篇动力学,2,动力学,引言,一.研究对象：,二.力学模型：,研究物体的机械运动与作用力之间的关系,2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的系统。,1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。,3,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。,三.动力学分类:,质点动力学质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四.动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。,4,第十一章质点运动微分方程,5,111动力学基本定律112质点运动微分方程的形式113质点动力学两类问题,第十一章质点运动微分方程,6,第一定律不受力（平衡力系）作用的质点将永远保持静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。两个基本概念：质点都有惯性，即保持原来运动状态的性质；力是改变质点运动状态的原因。（定性）,第二定律质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即,1动力学基本定律牛顿三定律,此式即质点动力学的基本方程。此定律给出：物体的受力与物体运动状态的改变之间定量关系（定量）。,7,力使物体产生沿其方向的加速度F作用在质点上的合力(共点力系的合力)a质点相对惯性系的加速度(绝对加速度)瞬时运动量的关系适用范围(质点,平动刚体),8,将动力学基本方程F=ma表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。,1.矢量形式的质点运动微分方程,11-2质点运动微分方程的形式,一、质点运动微分方程的各种形式,动力学,9,2.直角坐标形式的质点运动微分方程,3.自然坐标形式的质点运动微分方程,动力学,10,质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。,二、用质点运动微分方程解质点动力学两类基本问题,第一类基本问题：已知质点的运动情况，求作用力。用求导的方法求出质点的加速度，然后带入公式。,第二类基本问题：已知质点的受力情况，求质点的运动。用积分的方法求解质点运动微分方程。,动力学,11,动力学,1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）,11-3质点动力学两类问题,解题步骤和要点：正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量。,12,动力学,例1桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,解：选重物(抽象为质点)为研究对象受力分析如图所示,运动分析，沿以O为圆心,L为半径的圆弧摆动。,13,动力学,列出自然形式的质点运动微方程,求解未知量,注减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。拉力Tmax由两部分组成,一部分等于物体重量,称为静拉力一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,14,动力学,2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力,也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,解题步骤如下：正确选择研究对象。正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确定出其运动初始条件）。,15,动力学,选择并列出适当的质点运动微分方程。,如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量。,求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是位置的函数，需进行变量置换,16,动力学,列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算,微分方程积分一次再积分一次,解：属于已知力为常量的第二类问题。选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。,例2煤矿用填充机进行填充,为保证充填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶板A处。求(1)充填材料需有多大的初速度v0?(2)初速与水平的夹角a0？,17,动力学,代入最高点A处值，得：即将到达A点时的时间t,x=S,y=H代入运动方程，得,发射初速度大小与初发射角为,18,动力学,例3发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。,解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭(质点)为研究对象,建立坐标如图示。火箭在任意位置x处受地球引力F的作用。,则在任意位置时的速度,即：,19,动力学,可见，v随着x的增加而减小。若则在某一位置x=R+H时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x多大（甚至为）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返时（）的最小初速度,（第二宇宙速度）,20,运动学,本章结束,21,例10-1曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA=r,AB=l,当比较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程可近似写为,如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当,连杆AB所受的力.,22,解:研究滑块,其中,23,有,得,这属于动力学第一类问题。,当,得,24,求:质点的运动轨迹。,例10-2质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直,如图所示。质点在电场中受力作用。已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。,已知:,25,求:质点的运动轨迹。,已知:,解:,由,积分,26,得运动方程,消去t,得轨迹方程,这是第二类基本问题。,求:质点的运动轨迹。,已知:,27,例10-3一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。,已知:,求:,28,已知:,求:,这是混合问题。,其中,解得,29,已知:匀速转动时小球掉下。,求:转速n.,例10-4粉碎机滚筒半径为，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。,30,解：研究铁球,已知:匀速转动。时小球掉下。,求:转速n.,31,例：小球M的重量为G，设以匀速vr沿直管OA运动，同时管OA以匀角速度w绕铅直轴z转动。求小球对管壁的水平压力。,已知质点的运动，求作用于质点的力。,解：研究小球,32,例,一质量为3kg的小球连于绳的一端，可以在铅垂面内摆动，绳长l=0.8m。已知当q=60时绳的张力为25N,求此瞬时小球的速度和加速度。,解,根据质点动力学方程,研究小球,解得：,an=3.33m/s2at=8.66m/s2,再根据an=v2/l,可求v=1.632m/s,已知作用于质点的力，求质点的运动,33,例,图示质量为m的质点O带有电荷e，如已知质点在均匀电场中所受力F=esinkt,k为常数。又质点的初速为v0,与x轴夹角为q,且取坐标原点为起始位置。如不计重力影响，求质点的运动方程。,解,根据质点动力学方程：,已知作用于质点的力，求质点的运动,速度初始条件为：,位置初始条件为：,34,弹簧质量系统，物块的质量为m，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。,1.重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。2.物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同对运动微分方程的影响这一问题请同学们自己研究。,35,取坐标轴x铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体M的运动微分方程,例题质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力F与速度平方成比例，即F=v2，阻力系数单位取