第一章函数与极限电子教案第六节_第1页
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一、准则I第一重要极限,二、准则II第二重要极限,*三、柯西极限存在准则,一、准则I第一重要极限,准则I如果数列xn、yn及zn满足下列条件,(1)从某项起，即n0N，当nn0时，有,(2),ynxnzn，,那么数列xn的极限存在，且,准则I可以推广到函数的情形.,准则I如果,(1)当,(或|x|M)时，,g(x)f(x)h(x)，,(2),那么,存在，且等A.,准则I及准则I称为夹逼准则.,第一重要极限,函数,的图形如下：,例1,求,例2,求,例3,求,例4,求,代表相同的表达式,例5,求,例6设ai0(i=1,2,m),A=maxa1,a2,am,证明,二、准则II第二重要极限,数列的单调性,如果数列xn满足条件,x1x2xnxn+1,则称数列xn是单调增加的；,如果数列xn满足条件,x1x2xnxn+1,则称数列xn是单调减少的.,单调增加和单调减少的,的数列统称为单调数列.,例如，数列,是单调增加的，,其几何意义如,下图所示.,从图中可以看出，,一般项xn随n的增大而增大，,但,不论项xn如何增大，,总有xn1.,而我们已知道该数,的极限存在，且为1.,从这两个例子，我们发现这样一个事实：,如果数列xn单调增加，且xnM(即有下界),则该数列的极限存在.,这一发现不是偶然的，事实上，我们有,准则II单调有界数列必有极限.,证明略.,第二重要极限,e为自然对数的底，e2.718281828,在上式中，令,则得,第二重要极限公式适用的范围：,(1)函数为幂指函数(底和指数均为x的函数)；,(2)底的极限为1，指数的极限为.,例7,求,例8,求,代表相同的表达式,代表相同的表达式,*三、柯西(Cauchy)极限存在准则,柯西极限存在准则数列xn收敛的充分必要条,件是：,对于任意给定的正数
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