群的基本概念ppt课件

群的基本概念,目录,2群的基本概念,2.1群的定义,2.3同构与同态,2.2群的乘法表,2.4群的直积,2.6分子点群的共轭分类,2.5群元素的共轭分类,2.1群的定义,元素A、B、C、.组成集合G，在集合G中定义有称为乘法的某种组合运算，如果G对该乘法满足以下四个条件，则集合G构成群。,(1)封闭性,A、B为群G中的元素，如果：,AB=C,则C也是群G中的一个元素。,(2)结合律,群元素相乘满足乘法结合律，如：,ABC=(AB)C=A(BC),(3)恒等元素,群中有且仅有一个恒等元素E，且有：,EX=XE=X,其中X为群中的任何元素。,群元素的数目称为群的阶h.,(4)逆元素,群中任一元素X都有一个逆元素X-1，且逆元素X-1也是该群中的元素，且有：,XX-1=X-1X=E,从数学的角度看，按一定规则联系起来的任何元素的一个集合，如果满足上述四个条件，就称为群。群的特征不在于构成群的是何种元素，而在于它们共同遵守着某种规则，这种规则反映了群元素之间的内在联系。,除0以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为1，（4）逆元为其倒数。,例1-1实数加法群,例1-2实数乘法群,全体实数的集合对于数的加法构成群；（1）任意两实数之和仍为实数，（2）数的加法服从结合律，（3）恒等元为0，（4）逆元为其相反值。,例1-3立正操,例1-4全体正整数的集合不能构成整数乘法群。尽管该集合满足封闭性和结合律，也有恒等元，但除1以外，其余元素均无逆元。,四个操练动作：立正，向右转，向左转，向后转的集合构成群，如果定义两个动作的乘法为进行一个动作之后接着进行另一个动作。,例1-5全体实数的集合，虽然能构成实数加法群，但不能构成实数乘法群。因为其中的0无逆元。,2.2群的乘法表,群是按一定规律相互联系着的元素的集合，这个规律就是所谓的乘法。对一个有h个元素的有限群来说，如果知道了所有可能的乘积（h2）是什么，那么群元素之间的关系就一目了然，这个群就完全且唯一的被定义了。乘法表就是这样一个概念。,对于一个有限群G和群G中任意两个元素的乘积关系以表格的形式来表示，称为乘法表。利用乘法表可以方便的进行群的运算。,1）乘法表由h行和h列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,1）乘法表由h行和h列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照（列）（行）定义，即在x列和y行的交叉点上找到的元素是xy的乘积。,1）乘法表由h行和h列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照（列）（行）定义，即在x列和y行的交叉点上找到的元素是xy的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。,1）乘法表由h行和h列组成。列写在表的左边，行在表的顶部。如：,2）因为乘法一般是不可交换的，对乘法的次序需作出一致的规定，习惯上按照（列）（行）定义，即在x列和y行的交叉点上找到的元素是xy的乘积。行元素称为右乘因子，先作用；列元素称为左乘因子，后作用；两者的乘积写在交叉点上。,重排定理,在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。,重排定理,重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：,在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。,重排定理,重排定理能帮助构建乘法表。如三阶（抽象）群：,在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列中被列入一次且只被列入一次。由此可见，不可能有两个行全同，也不可能有任意两列全同。每一个行和每一个列都是群元素的一个重新排列。,例2-1二阶点群,抽象的看，只有一个可能的二阶群，它具有下列乘法表。这个群用符号G2表示。,例2-2三阶点群G3也只有一种可能：,例2-2三阶点群G3也只有一种可能：,循环群：G=|a1,a2,an=E|。上述G3群是循环群的一个例子。,AA=A2=B,AB=A3=E,1）四阶循环群：,例2-3四阶群有两个：,1）四阶循环群：,例2-3四阶群有两个：,AA=A2=B,AB=A3=C,AC=A4=E,BA=A3=C,BB=A4=E,BC=A5=A,CA=A4=E,CB=A5=A,CC=A6=B,2）四阶群：,例2-3四阶群有两个：,2）四阶群：,例2-3四阶群有两个：,这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。,2）四阶群：,例2-3四阶群有两个：,可对易（Abel）群：任意两群元素的乘积是可对易的，aiaj=ajai。上述例子都是Abel群的例子。,这个群的特点是每个群元素的逆都是其自身。,例2-4C2v群,例2-4C2v群,例2-5S3置换群,S3置换群是三个数码1，2，3的所有可能的置换，共有6个群元素：,群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。,置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的：先右边，再左边（actioninturn!）。如,由此可得到S3置换群的乘法表。,S3置换群表：,C3v群的群元素与S3置换群的群元素存在一一对应关系。这个对应关系可通过右图分析得出。如：,例2-6C3v群,C3v群的群元素作用下三个数码的置换,C3v群的群元素作用下三个数码的置换,C3v群的群元素与S3置换群的群元素存在一一对应关系。这个对应关系可通过右图分析得出。如：,例2-6C3v群,根据两个群的群元素的对应关系可以得到C3v的群表：,2.3同构与同态,如例2-1中的C2群、Ci群、Cs群三个群同构。,两个群，如果其群元素数目相同（同阶群），而且乘法关系相同（有相同的乘法表），则称这两个群同构，即有相同的结构。,如C3v群与S3群同构。此外，还有Cnv群与Dn群同构，O群与Td群同构。,同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。,如果两个群的群元素之间存在1对m的关系，则这两个群同态。,如G2群与C3v群同态，存在着1对3的关系。从乘法表的区域分布可以看出：,2.4群的直积：直积群,2.4.1子群,因为有相同的乘法关系，子群H与群G有相同的单位元素。,若一个群H的群元素皆包含于另一个群G之中，就称群H是群G的子群。,或者说，群H的阶为h，群G的阶为g，且hg，HG。就称群H是群G的子群。,如果一个群G中一部分元素的集合（子集合）对于群G的乘法是封闭的，即：,则称H为群G的子群。,如果一个群G中一部分元素的集合（子集合）对于群G的乘法是封闭的，即：,则称H为群G的子群。,群G的阶g必是子群H的阶h的整数倍。,2.4.2群的直积,这个定义很容易推广到多个直因子的直积的情况。,设有2个群H1=am、H2=bn，如果两个群的任意两个元素是可对易的：aibj=bjai，则可以定义一个大群G（直积群）是H1与H2的直积，表示为：,直积群G的元素gk=aibj（k=1,2,mn）。显然，H1、H2是G的子群，叫做直积群G的直因子。,例1C6群包含C2子群和C3子群。,例2C3h群包含C3子群和CS子群。,例1C6群包含C2子群和C3子群。,例3D2h群包含D2子群和Ci子群。,此外，还有：,例3D2h群包含D2子群和Ci子群。,后面我们会看到，直积群的性质很容易由它的直因子的性质导出。因此，只要有可能，我们总是愿意把一个群分解成较简单的群的直积。,直积群有如下性质：,2）直积群的一部分直因子的乘积仍是它的直因子。,1）各个直因子的交（即共同的元素）只有单位元素。,2.5群元素的共轭分类,其中X为群中任意元素，则称A与B共轭。,如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系：,2.5群元素的共轭分类,其中X为群中任意元素，则称A与B共轭。,如果群中的两个元素存在如下的相似变换关系：,相互共轭的群元素的一个完整集合称为群的类。,群元素的共轭分类比较复杂，但有规律可循：,3）反映：sh永远自成一类；nsv的分类相对复杂，有时同属一类，有时则分属两类。,1）恒等操作E总是自成一类,2）反演i总是自成一类,当nsv分属两类时，一类称为sv，另一类可称为sv或sd。,4）转动,（1）循环群中的操作每一个自成一类。,4）转动,（2）在所有其他对称性较高的群中，归属一类，,（1）循环群中的操作每一个自成一类。,自成一类。,4）转动,（2）在所有其他对称性较高的群中，归属一类，,（1）循环群中的操作每一个自成一类。,自成一类。,（3）非真转动Sn的分类情况与Cn相似。,4）转动,（2）在所有其他对称性较高的群中，归属一类，,（1）循环群中的操作每一个自成一类。,根据乘法表可以对群元素进行共轭分类。以C3v群为例说明。,5）如果二个对称操作可以借助另一个对称操作交换位置（或彼此到达），则这二个操作同属一类。如C3v群中的3个竖直的镜面sv。,6）同构群的群表相同，共轭分类（当然！）相同。,这是对称群的类的几何意义：相互共轭的对称操作，本质上是相同的操作。,依据C3v群表：,由此可见，C13和C23共轭，同属一类；同理可得，3个sv同属一类；E则自成一类。C3v群有3个共轭类。,依据C3v群表：,2.6分子点群的共轭分类,1）Cn、Cnh、Sn（n=2m）群的群元素各自成一类。,Cn、Cnh、Sn（n=2m）群均属Abel群（可对易群），群元素相乘彼此对易：,故每个群元素自成一类。共轭类数等于群的阶。,自成一类，,同属一类，共类，,2）Cnv与Dn群的共轭类,（1）n为奇数时,nsv同属一类，共有：,自成一类，,同属一类，共类，,2）Cnv与Dn群的共轭类：Dn与Cnv群同构，共轭分类相同，只需将sv改为C2即可。,如上例，C3v群共有3个类。,（1）n为奇数时,nsv同属一类，共有：,为一类，共有：,自成一类，,同属一类，共类，自成一类，,（2）n为偶数时,为一类，,3）Dnh群的共轭类,同属一类，共类，,同属一类，共类，,（1）n为奇数时自成一类，,nC2同属一类，,nsv同属一类，sh自成一类，,共有：,（2）n为偶数时自成一类，,同属一类，共类，自成一类，,为一类，为一类，,为一类，为一类，,sh自成一类，,同属一类，共类，,i自成一类，共有：