数学人教版九年级上册直角三角形在二次函数中的存在性问题.ppt

二次函数与几何图形的存在性问题,专题:直角三角形的存在性问题普定县第二中学教师：孙家坤,典例精讲,例如图，已知抛物线y1/2x2bxc经过点B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的另一个交点为点A，其对称轴l与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD.(1)求该抛物线的解析式；【思路点拨】,例题图,解：(1)由抛物线y1/2x2bxc经过点B(4，0)和点C(0，2)，得，解得，抛物线的解析式为yx2x2；,(2)判断ABD的形状；,【思路点拨】判断三角形形状，一般为特殊三角形，若两边相等，则为等腰三角形；若三边相等，则为等边三角形；若两条边的平方和等于第三边的平方，则为直角三角形,解：如解图，连接BD，对于抛物线yx2x2，令y0得x11，x24，B(4，0)，点A的坐标为(1，0)，抛物线的对称轴为直线x，CDx轴，且点C、D均在抛物线上，点C与点D关于直线x对称，,例题解图,C(0，2)，点D的坐标为(3，2)，过点D作DMAB于点M，在RtADM、RtBDM中，利用勾股定理可得AD2(31)22220，BD2(43)2225，又AB25225，AB2AD2BD2，ABD是直角三角形，且ADB90；,(3)P为线段AD上一点，连接PE，若APE是直角三角形，求点P的坐标；,例题图,【思路点拨】,解：由(2)得BDAD，当PEBD时有PEAD，E是抛物线对称轴x与x轴的交点，点E是AB的中点，点P是AD的中点，此时点P的坐标为(1，1)，如解图，当点P是直线l与AD的交点时，有AEP90，由A(1，0)，D(3，2)得直线AD的解析式为yx；当x时，有y，此时点P的坐标为()，当APE是直角三角形时，点P的坐标为(1，1)或()；,例题解图,(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由,例题图,【思路点拨】,分别利用勾股定理，列出方程求解若有解，则存在；若无解，则不存在,解：点P在直线l：x上，则设点P的坐标为(，p)，如解图，由勾股定理得AP2(1)2p2p2，PD2(3)2(p2)2(p2)2，由题意可得AD220，当APD是直角三角形时，当APD90时，则AP2PD2AD2，即p2(p2)220，解得p11，p11，此时点P的坐标为(，1)，(，1)，,例题解图,当PAD90时，则AP2AD2PD2，即p220(p2)2，解得p5，此时点P的坐标为(，5)；当PDA90，则PD2AD2AP2，即(p2)220p2，解得p5，此时点P的坐标为(，5)当APD为直角三角形时，点P坐标分别为()，()，(，5)，(，5),对于抛物线与直角三角形的综合问题，解题时，一般需做好以下几点：1利用坐标系中两点距离公式，得到所求三角形三边平方的代数式；2确定三角形中的锐角，若存在锐角，则只需使得另外两个角中任意一个角为直角，并利用勾股定理列方程求解；若无法确定哪个角是锐角，则需要讨论三个角；3根据勾股定理得到方程，并解方程即可，若方程有解，此点存在；否则不存在；4有时也可以考虑运用所求三角形与已知的直角三角形相似，利用比例关系求出对应的参数,针对演练,1.如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标,2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc过A，B，C三点，其中点A(3，0)，点C(0，3)，动点P在抛物线上(1)求抛物线的解析式及点B的