概率论3ppt课件VIP

.,第三章多维随机变量及其分布,1二维随机变量,在某些实际问题中,往往需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述试验的结果,例如某地区对儿童进行抽查身体,测量被抽儿童的身高H和体重W,这里样本空间S=e=某地区的全部儿童,而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量.,二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.,.,注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个r.v.的相互关系.所以单个研究X和Y是不够的，还必须将(X,Y)作为一个整体来研究。,如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?,-可用分布函数.,.,2.二维r.v.(联合)分布函数:,若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,.,3.性质:,(1)F(x)是x或y的单调不减函数.,x2x1,F(x2,y)-F(x1,y)0.y固定,(2)0F(x,y)1,(3)F(x,y)关于x或y是右连续的.,y2y1,F(x,y2)-F(x,y1)0.x固定,.,图2,(矩形等式),.,4.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一)二维离散型r.v.,1,.,例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.,Y123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16,X,.,1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所有取值数对;2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率;3.列出联合概率分布表.,离散型二维随机向量联合概率分布确定方法,.,例2.1.2.设随机变量YN（0，1），令,解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2),=1-P(|Y|2),=-2(2)=0.0455,P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(1|Y|2),=P(-2Y-1)+P(1Y2),=2P(1Y2),=2(2)-(1),=0.2719,P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2),=0,P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2),=P(|Y|2)维r.v.的情况.,.,.,.,例3:一整数N等可能的在1，2，10十个值中取一个值。设D=D(N)是能整除N的正整数的个数，F=F(N)是能整除N的素数的个数（注意1不是素数）。分别写出D和F的分布律以及（D,F）联合分布律。样本点12345678910D1223242434F0111121112D1234F012pk1/104/102/103/10pk1/107/102/10,.,2.边缘分布,一、边缘分布函数：,.,二、边缘分布律(离散型)：,.,例1(续),Y1234pj11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16pi,X,1/4,1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,3,.,例4为了进行吸烟与肺癌关系的研究，随机调查了23000个40岁以上的人，其结果列在下表之中.,X=1若被调查者不吸烟,X=0若被调查者吸烟,Y=1若被调查者未患肺癌,Y=0若被调查者患肺癌.,.,令:从表中的每一种情况出现的次数计算出它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的概率分布:PX=0,Y=03/23000=0.00013,PX=1,Y=01/23000=0.00004,PX=0,Y=14597/23000=0.19987,PX=1,Y=118399/23000=0.79996.,.,三、边缘概率密度（连续型）:,.,.,注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.,.,3.3条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,.,.,例1.设(X,Y)的分布律为:X5713182010.080.0100.020.1420.110.100.090.010.0430.030.070.150.060.09求在X=2时Y的条件分布律.,Y,用表格形式表示为:k57131820PY=k|X=211/3510/359/351/354/35,.,例2求被调查者吸烟的条件下得肺癌的概率和不吸烟的条件下得肺癌的概率.,解:,.,例3一射击手进行射击,击中目标的概率为p(00,.,x(-1,1)时fX(x)0,.,.,例:设(X,Y)N(1,2,12,22,),求条件概率密度函数.,.,同理可得,.,3.4相互独立的随机变量,由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念.,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立.,1.定义:,2.等价定义:,.,称离散型随机变量X和Y相互独立。可推广至维随机向量相互独立，若,.,例4：袋中有2个白球3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令求（X，Y）的分布律及边缘分布律。,.,例设X与Y独立，试将（X，Y）的分布、边缘分布的部分概率值填入表中的空白处,.,例.设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中:(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21,f1(x)=,|x|1,|x|1,0,f2(y)=,解:(1),同理,所以,X,Y独立.,(2),所以,X,Y不独立.,.,解(1),.,例:设随机向量(X,Y)的概率密度函数为,试证X和Y相互独立.,解,于是有p(x,y)=pX(x)pY(y)所以X和Y相互独立.,.,解(1)X与Y的密度函数分别为,因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数,.,解(2)因为,所以,.,例:设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立,试求PX+Y1.,.,3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.,.,所以:=0.,4.一个重要定理:,设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立,又若h,g是连续函数,则h(x)和g(y)相互独立.,5.边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维r.v.的情况.,.,6,.,3.5两个r.v.的函数的分布,(一)和(Z=X+Y)的分布(1)和(Z=X+Y)的分布(离散型),已知r.v.(X,Y)的联合分布列,求Z=X+Y的分布列,X012-11/182/183/1803/181/182/1812/183/181/18,Y,解：Z的可能取值：-1，0，1，2，3,PZ=-1=PX=-1,Y=0=1/18,.,PZ=0=PX=0,Y=0+PX=-1,Y=1=5/18,PZ=1=PX=-1,Y=2+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=6/18,PZ=2=PX=0,Y=2+PX=1,Y=1=5/18,PZ=3=PX=1,Y=2=1/18,.,离散型r.v.的和函数的分布:,设X,Y是离散型r.v.且相互独立,其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3,PY=j=qj,j=0,1,2,3,求Z=X+Y的分布律.,解:,PZ=k,=PX+Y=k,(X与Y相互独立),于是有:,这就是Z=X+Y的分布律.,.,例设X,Y是相互独立,分别服从参数为1,2的泊松分布,试证明Z=X+Y服从参数为1+2指数分布.,证明:,已知,由上式知,PZ=k,从而证明Z=X+Y也服从指数分布.,.,设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为p(x,y),一维连续型随机变量Z=f(X,Y),则Z=f(X,Y)的分布函数为,其中D=(x,y)|f(x,y)z,且在p(x,y)的连续点处,一维连续型随机变量Z=f(X,Y)的概率密度为,二维连续型随机变量函数的分布,.,设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.,解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz),这里积分区域D=(x,y):x+yz是直线x+y=z左下方的半平面.,一、和Z=X+Y（连续型卷积公式）,.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,.,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,.,特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边际密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,这两个公式称为卷积公式.,.,解由卷积公式,也即,.,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,也即,于是,.,解:,例设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，其概率密度函数为:,如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数.,分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:,.,两周需要量Z=X+Y,Z的概率密度函数为:,时，被积函数不为零，所以,（1）当z0时,有,.,(2)当z0,.,例.设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.,.,定理:,注意:（1）上例中“独立性”条件不可缺少。（2）X,Y同分布，不一定有X=Y。例如：服从(0,1)分布，则Y=-X也服从(0,1)分布显然不满足X=Y.,定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的和也服从正态分布.,.,定理表明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布.,例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则2X+7Y+5也具有正态分布.,.,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,.,又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有FM(z)=FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),.,类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,下面进行推广,即有FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz),.,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=0,1，,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,.,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,留作课下练习.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n,.,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,.,例:设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作）.设L1，L2的寿命X和Y的概率密度分别为,其中0,0,且.试分别就以上三种联接方式写出L的寿命Z的概率密度.,.,解X和Y的分布函数分别为,由于当L1，L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z=minX,Y,其分布函数为,于是Z=minX,Y的概率密度为,（1）串联的情况:,.,(2)并联的情况:,由于当且仅当L1，L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命为Z=maxX,Y,其分布函数为,于是Z=maxX,Y的概率密度为,.,(3)备用的情况:,由于这时只有当L1损坏时,L2才开始工作,所以整个系统L的寿命为Z=X+Y,于是，当z0时，Z=X+Y的概率密度为,当z0时，pX+Y(z)=0.于是的概率密度为,.,例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则,由题意,令,查表得,.,第三章习题课,一.主要内容：,(1)二维r.v.的分布函数,离散型r.v.的联合分布,连续型r.v.的联合概率密度.,(2)边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.,(3)条件分布律;条件概率密度.,(4)随机变量的相互独立.,(5)两个r.v.函数的分布.,.,二.练习题:,1.设某人从1,2,