高数复习资料(幂级数展开式)

8.4函数的幂级数展开及应用,设,收敛区间(-r,r),r0,则S(x)在(-r,r)上可导,且,S(x)在(-r,r)上二阶可导,又的收敛半径也为r,在(-r,r)上可导,且,S(x)在(-r,r)上三阶可导,重复这一过程可知:S(x)在(-r,r)上无穷阶可导,问题:,即一任意阶可导的函数是否可以展开为一幂级数?,这就是函数的幂级数展开问题,令x=x0,两边求导得,让x=x0,有,再两边求导有,让x=x0,有,重复这一过程可得,即如果,则,泰勒级数:,由此得知:,由泰勒公式,若记的部分和数列为Sn(x),则有,故知:,定理,在点x处,(2)称为函数f(x)的麦克劳林级数展开式,常用的泰勒级数展开式(取x0=0),(1)f(x)=ex的展开式,由于,在x0=0处的泰勒级数为,其收敛半径:,级数的收敛域为(-,+),又由泰勒公式,其中介于0与x之间,于是有,据夹逼定理知,对任意xR,所以有,(3),(2)f(x)=sinx的展开式,在x0=0处的泰勒级数为,由于,级数的收敛域为(-,+),又由于,(3)f(x)=cosx的展开式,对上式两边对x求导有,(4)f(x)=ln(1+x)的展开式,(6),即,(5),(5)f(x)=(1+x),R的展开式,f(x)在x0=0处的泰勒级数,由于,收敛区间为(-1,1),对于任意的x(-1,1),记,由于,代入前式有,即满足:,即,解得,由于S(0)=1,c=0,(7),说明:,(a)计算,(b)验证等式成立,(3)间接展开法:,这一方法的优点:,(a)回避的计算,(b)回避等式的验证,解,因为对于任意的x(-,+),令x=x2,代入上式有,说明:,利用,可知,所以有,解,因为,由于,代入上式有,解,由于,将这些展开式代入上式有,解,因为,而当时,在上式中令x=x2,有,解,令,则,代入,将代入上式得,幂级数的应用,(1)数项级数的求和,解,首先构造一辅助幂级数使符合下面两条件:,(1)使为幂级数当x取特定值时的结果,(2)辅助幂级数容易求和,本题取辅助幂级数,求辅助幂级数的和函数,记,所以,解,构造辅助幂级数,则由,此幂级数的收敛域为(-,+).,并且,所以求得,(2)求高阶导数,若,则有,解,(3)近似计算,(a)函数值的计算,解,因为,由,令得,(交错级数),由于,所以,解,设f(x)=arcsinx,则,两边积分得,令x=0.2得,当n=1时,所以有,(b)积分值的近似计算,解,因为,这是一交错级数,由于,于是有,所以积分的符合精度要求的近似值为,则称收敛,且其和为,绝对收敛,收敛.,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称绝对收敛.,由于,故知,欧拉(Euler)公式,定义:复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛.,当y=0时,它与实指数函数,当x=0时,的幂级数展式一致.,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成800页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和,发展奠