第3章习题概率论ppt课件

.,第三章习题,1.,在一个箱子中装有12只开关,其中2只是次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下:,若第一次取出的是正品,若第一次取出的是次品;,若第二次取出的是正品,若第二次取出的是次品.,试分别就(1),(2)两种情况,写出X和Y的联合分布律.,解设事件Ak表示“第k次取出的是正品”,k=1,2.,PX=0,Y=0=P(A1A2),(1)放回抽样,=P(A1)P(A2),.,PX=i5/61/6,1,X和Y的联合分布律列表如下,(2)不放回抽样,PX=0,Y=0=P(A1A2),=P(A1)P(A2|A1),PX=i5/61/6,1,(1),(2),问第1题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由),13(1),X和Y的边缘分布如下所示,解,(1)PX=i,Y=j=PX=iPY=j对(X,Y)所有可能取值(i,j)(i,j=0,1)都成立,故放回抽样X和Y相互独立.,(2),PX=1,Y=0=10/66,PX=1PY=0=(1/6)(5/6)=5/36,故不放回抽样X和Y不相互独立.,.,3.,设随机变量(X,Y)的概率密度为,(1)确定常数k;(2)求PX1,Y3;(3)求PX1,5;(4)求PX+Y4.,解(1)由归一性,故k=1/8.,(2)PX1,Y3,(3)PX1,5,(4)PX+Y4=,D,x+y=4,G,(1),(2),(3),(4),(5),.,求分布函数,(1)y,或x0,-y时,F(x,y)=0.,(2)0x2,2y4时,(3)x2,2y4时,(4)0x2,y4时,(5)x2,y4时,总之,.,4.,将一枚硬币掷3次,以X表示前2次中出现H的次数,以Y表示3次中出现H的次数.求X,Y的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律.,解先将试验的样本空间和X,Y的取值情况列表如下:,1,PX=i,PY=j,由表中可知,X所有可能取的值为0,1,2,Y所有可能取的值为0,1,2,3.,X,Y的联合分布律如右表所示.,(X,Y)关于X的边缘分布律可用X=i时Y取所有可能取的值的概率相加而得;,(X,Y)关于Y的边缘分布律可用Y=j时X取所有可能取的值的概率相加而得.,也可以单独列表如下:,.,5.,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求边缘概率密度.,解f(x,y)0的区域G如右图所示,.,8.,将某一医药公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为,PY=j,1.00,PX=i,0.18,0.15,0.35,(1)求边缘分布律;,(2)求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律.,解,(1)关于X的边缘分布律见表右,0.12,0.20,关于Y的边缘分布律见表下,也可以单独列表,0.28,0.28,0.22,0.09,0.13,(2),列表如下,.,11.,在第7题中(1)求条件概率密度fX|Y(x|y),特别,写出当Y=1/2时X的条件概率密度;(2)求条件概率密度fY|X(y|x),特别,分别写出当X=1/3,X=1/2时Y的条件概率密度;(3)求条件概率PY1/4|X=1/2,PY3/4|X=1/2.,解第7题已求得(X,Y)的概率密度和分别关于X和Y的边缘概率密度,(1),只有当fY(y)0,即当0y1时才有意义,此时fX|Y(x|y),x2y,特别,当Y=1/2时,fX|Y(x|y=1/2),.,(2),只有当fX(x)0,即当-1x1时才有意义,此时fY|X(y|x),当X=1/3时,fY|X(y|x=1/3),当X=1/2时,fY|X(y|x=1/2),(3),PY1/4|X=1/2,PY3/4|X=1/2,.,12.,13(2),设随机变量(X,Y)的概率密度为,求条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).,解如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域G,先求边缘概率密度,当|y|1时,当0x1时,问第12题中的随机变量X和Y是否相互独立?(需说明理由),解,故X和Y不相互独立.,.,14.,设X和Y是相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为,(1)求X和Y的联合概率密度;,(2)设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.,解(1),(2)方程a2+2Xa+Y=0中a有实根的的条件是判别式4X2-4Y0,即X2Y.,故所求概率为,=1-0.8555=0.1445,标准正态分布函数,.,17.,设X和Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为,求随机变量Z=X+Y的概率密度.,解法一:,当0x1时,fX(x)0;,当xz时,fY(z-x)0.,总之,只有当0x1且x0时,即在图示阴影区域中,被积函数才不为零,从而fZ(z)才不为零.,.,23.,对某种电子装置的输出测量了5次,得到结果为:X1,X2,X3,X4,X5.设它们是相互独立的随机变量且都服从参数=2的瑞利分布(其密度见20题).(1)求Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数;(2)求PZ4.,解由20题参数=2的瑞利分布的概率密度为,其分布函数为,(1)由于Xi(i=1,2,3,4,5)相互独立且都服从参数=2的瑞利分布.故,Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函数,(2)PZ4=1-PZ4,=1-FZ(4),=1-(1-e-2)5=0.5167,或PZ4=1-PZ4,=1-PX14,X24,X54,.,而