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第五讲 无理方程【知识点归纳】u 根号内含有未知数的方程叫无理方程u 解无理方程的思路： 转化为有理方程u 无理方程的常见类型：u 解无理方程的方法：（1）平方法： 平方法的主要目的在于将根号去掉，使之转化为整式方程（2）换元法： 换元法是将整个根号进行换元从而使之转化为整式方程，而非仅仅换根号内部u 解无理方程跟解分式方程类似，要考虑方程的存在性，因此也要验根u 解无理方程的一般步骤：【例题1】 解方程：（1） （2） 解： 解：（3） 解：【例题2】 解方程：（1）（2） 解：或 解：或3【例题3】 解方程组：解：，【例题4】 请编制一个无理方程，使它的一个根是4，增根是2【例题5】 解方程：解： 解： 两边平方： 检验符合 或1 舍去 原方程解为：或1【例题6】 已知x0，且满足方程，求的值.解： 令 或6，其中（舍去） 原式【例题7】 已知关于的方程有一个增根，求a的值及方程的根解： 其中满足上述 有 或 当时，不是增根，舍去 即原方程为： （舍）或20 方程的根为【例题8】 求的最小值解：通过构造直角三角形，得到的两个三角形则为所求最小值【例题9】 解方程： 解：令 【例题10】 解方程：解：令原式可化为 解得解得由题 解得 所以是增根解为1. 若以为未知数的方程有实数根，则实数的取值范围是解：原式化为（），两边平方，整理得由于原方程有实根，则，即，而，所以2. 解方程： （1）（2）解：解： 无解 （3） （4） 解： 解： 或12代入检验 发现（舍去） （5）解： 或代入检验发现（舍） （6）（7）解： 解： 令 令则有原方程变为： 或（舍） 或 或（舍） 检验符合：原方程解为或 检验满足方程 （8） （9）解： 解：令令 则代入下式得： 即 或（舍） 则 则 1、 已知方程组： 只有一组实数解，求的值2、 解方程：解： 或（舍） 3、 解：两边平方： 解： 或22代入检验 发现（舍去） 或代入检验发现（舍）
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