05 余数与公因数公倍数教师版

第五讲 余数与公因数、公倍数1. 有一个不等于整数，除、，得到相同的余数，问这个整数是几。2. 一个自然数被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，求的最小值。3. 甲、乙、丙三数之和是，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是商余，乙数是多少？4. 证明：两个非零正整数相除，若除不尽，则所得商一定是无限循环小数. 余数是有限的，因除不尽，则除法次数无限，以有限博无限，结论可想而知。 5. 有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就朝海里扔了一只,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了.第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是扔掉一只后,恰好可以分成5份.问这堆桃子至少有多少只？ 解法三，借还之间，化繁为简。 从第一个猴子开始，每人把桃分成五份都多一个，也就是说再有4个它们就刚好能把桃五等分。好吧，我们就先借4个桃给它们，看看会发生什么。我们就假设借给它们4个后有x个桃子吧，分完了可别忘记拿回来哦。 第一个猴子：刚好把X个等分成5份，它拿着属于它的那份走了，原来他连吃带拿，现在也一个没少。于是剩下： 4/5 x X 第二个猴子来了，由于第一个猴子并没有多带走桃子，刚才借给它们的那四个还留着，因此第二个猴子也正好把桃子分成5份，它拿走一份，还剩下： 4/5 x 4/5 x X 第二个猴子也没比刚才多拿，所以借给它们的那四个桃子还在！因此第三个猴子还是把桃子5等分，剩下： 4/5 x 4/5 x 4/5 x X 同样地，第四个猴子分完后还剩下： 4/5 x 4/5 x 4/5 x 4/5 x X 第五个猴子分完后剩余： 4/5 x 4/5 x 4/5 x 4/5 x 4/5 x X = 45/55X 由于剩下的桃也是整数，所以X至少要等于55，哈！答案出来了，X = 3125，拿回4个来，就知道原有桃子3121个，最后剩下45 4 = 1020个。6. 一条街道为AC，在AC中的B处转弯。AB长630米，BC长560米。在这条街道一侧等距装路灯，A、B、C三点必须各装一盏路灯，则这条街道最少装_盏路灯。解：路灯的盏数最少，灯间距离就要最大。灯间距离就是630与560的最大公约数。(630，560)=70 AB间路灯盏数63070+1=10(盏)，BC间路灯盏数56070=8(盏)，10+8=18(盏)，所以这条街道最少装路灯18盏。7. 红、黄、蓝三个小精灵，在同一时间、同一地点按顺时针方向沿一圆形跑道匀速进行。当绕行一周时，红精灵用12秒，黄精灵用8秒钟，蓝精灵用9秒钟，那么在一个小时内，红、黄、蓝三个小精灵同时相遇_次(出发时就算第1次)。解：三个小精灵同时相遇需要12，8，972(秒)，1小时3600秒，360072151(次)即在一个小时内，红、黄、蓝三个小精灵同时相遇51次。8. 在一条长96米的路的两侧，计划每隔4米栽一棵树。画好“记号”后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还要重新做 个“记号”。解：为了方便，我们先讨论在路的一侧做记号”的情况。每隔4米做一个“记号”，一共做964+1=25(个)“记号”。若改为每隔6米做一个“记号”，就要做966+1=17(个)“记号”。4与6的最小公倍数是12，9612+1=9，因此，有9个“记号”不必重新画，重新画的“记号”有17-9=8(个)。两侧还要重新画82=16(个)“记号”。答：还要重新画16个记号”。9. 三个连续的自然数的最小公倍数是360，则这三个数分别为 。解：三个连续的自然数必然是二奇一偶或一奇二偶。如果是二奇一偶，它们的最小公倍数就是这三个自然数的乘积；如果是一奇二偶，它们的最小公倍数就是这三个自然数的乘积的一半，这三个数的乘积为3602，360222223358910，所以这三个数是8、9、1010. 设数A共有9个约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则三个数之积的最小值是 。解：根据约数的个数和互不整除，A36，B20，C24；所以36202417280。11. 已知两个正整数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之差为142，则这两个正整数分别是 。解：设其中较小的一个自然数为x，另一个则为x+2，那么这两个正整数的最大公约数只有两种可能，一个为1，一个为2。若最大公约数为1，则它们的最小公倍数为142+1=143。又因为最大公约数乘以它们的最小公倍数恰为两个正整数的积，所以，1143=a(a+2)=1113，若最大公约数为2，则它们的最小公倍数为142+2=144，2144=(a+2) a=1618故本题有两个答案。当（x，x+2）=1时，x，x+2=142+1=143 ，而（x，x+2）x，x+2=1143=1113= x（x+2）， 所以x=11，x+2=13；当（x，x+2）=2时，x，x+2=142+2=144，而（x，x+2）x，x+2=2144=1618= x（x+2）， 所以x=16，x+2=18；所以这两个正整数为11和13或16和18。1. 计算由到的每一个数的数字之和，得到个新数，再求每一个新数的数字之和，这样一直进行下去，直到都是一位为止，那么，最后得到的数中是多，还是多。2. 除以的余数是几？为什么？3. 两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，这两个数分别为 。解：180=22335 ，其中233是两个数公有质因数。剩下的25可以同时分配给其中一个数，也可以分别分配给两个数，于是有36和90，180和18两组答案，为符合“两个数相差54”的条件，只有36和90。4. 红、黄、蓝三个小精灵，在同一时间、同一地点按顺时针方向沿一圆形跑道匀速进行。当绕行一周时，红精灵用12秒，黄精灵用8秒钟，蓝精灵用9秒钟，那么在一个小时内，红、黄、蓝三个小精灵同时相遇_次(出发时就算第1次)。解：三个小精灵同时相遇需要12，8，972(秒)，1小时3600秒，360072151(次)即在一个小时内，红、黄、蓝三个小精灵同时相遇51次。1. 有一个不等于整数，除、，得到相同的余数，问这个整数是几。2. 一个自然数被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，被除余，求的最小值。3. 用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有 朵花。解：（96，72）=24，9624+7224=7朵。4. 将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，则至少能剪成 块。解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公约数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长与宽的最大公约数。（90，42）=6，所以至少能剪成904