定积分的几何应用(面积和弧长)

利用元素法解决:,定积分在几何上的应用,定积分在物理上的应用,定积分的应用,定积分的元素法,一、什么问题可以用定积分解决?,二、如何应用定积分解决问题?,表示为,一、什么问题可以用定积分解决?,1)所求量U是与区间a,b上的某分布f(x)有关的,2)U对区间a,b具有可加性,即可通过,“分割,近似代替,求和,取极限”,定积分定义,一个整体量;,二、如何应用定积分解决问题?,第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的,微分表达式,第二步利用“求和,取极限”求出整体量的,积分表达式,这种分析方法称为元素法(或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条,带,段,环,扇,片,壳等,近似值,精确值,第二节,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及x轴所围曲,则,边梯形面积为A,右下图所示图形面积为,O,O,例1.计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积.,解:由,得交点,O,例2.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取y作积分变量,则有,O,例3.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a=b时得圆面积公式,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,O,例4.求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积.,解:,O,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,O,对应从0变,例5.计算阿基米德螺线,解:,到2所围图形面积.,O,心形线,例6.计算心形线,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),心形线,O,心形线(外摆线的一种),即,点击图中任意点动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,例7.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对称性,所求面积,例8.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,答案:,O,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长0时,折线的长度之和趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,下垂,悬链线方程为,例10.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,例11.求阿基米德螺线,相应于02,一段的弧长.,解:,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.,提示:交点为,弧线段部分,直线段部分,以x为积分变量,则要分,两段积分,故以y为积分变量.,解：,2.求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其他.,又,故在区