第2讲推理与证明.ppt

第2讲推理与证明,1.合情推理（1）归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理.归纳推理的思维过程如下：（2）类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.,类比推理的思维过程如下：,2.演绎推理（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般性原理.小前提所研究的特殊情况.结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断.（2）合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.,3.直接证明（1）综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为（2）分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为,QnQ,PQ1,Q1Q2,Q2Q3,QP1,P1P2,P2P3,得到一个明显成立的条件,4.间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示.,一、合情推理与演绎推理,例1（2008湖北理，15）观察下列等式：,=ak+1nk+1+aknk+ak-1nk-1+ak-2nk-2+a1n+a0，可以推测，当k2（kN*）时，ak+1=,ak=,ak-1=,ak-2=.,思维启迪当k=2、3、4、5、6时，写出ak-1，ak-2的值，通过观察归纳可得.解析由题意知,当k=2,3,4,5,6时,ak-1分别为可以推测ak-1=.当k=2,3,4,5,6时,ak-2分别为0,0,0,0,0.可以推测ak-2=0.,0,探究提高（1）归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.（2）类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的结论.变式训练1若数列an的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=.,解析f(1)=2(1-a1)=,f(2)=2（1-a1）（1-a2）=2,f(3)=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2,可猜测f(n)=.答案,例2在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：x+y=0,请你求OF的方程：（）x+y=0.思维启迪观察E、F两点特征,应该说E、F两点的特征类似.E在AC上，F在AB上，它们的区别在“一点”之差上.故结论可用类比法.,解析方法一类比法E在AC上，OE的方程为：=0.F在AB上，它们的区别在于B、C互换.因而OF的方程应为：.括号内应填：.方法二画草图如下,由对称性可猜想填.事实上,由截距式可得直线AB:=1,直线CP:=1,两式相减得=0,显然直线AB与CP的交点F满足此方,程,又原点O也满足此方程,故为所求直线OF的方程.答案,探究提高“观察、类比”是解决本题的基本思路，由于直线OE、OF在图形上的“对称性”在其方程上也必然有某种“对称性”，观察直线OE的方程和题目中给出的直线OF的部分信息，它们的共性是y的系数一样，那就只有x的系数具备“对称性”这样就可大胆、合理地进行解答了.,变式训练2（2009日照模拟）在RtABC中，CACB，斜边AB上的高为h1，则；类比此性质，如图，在四面体P-ABC中，若PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为.,解析本题考查了合情推理的能力.连接CO且延长交AB于点D，连结PD，由已知PCPD，在直角三角形PDC中，DCh=PDPC，即h=PDPC，所以容易知道AB平面PDC，所以ABPD，在直角三角形APB中，ABPD=PAPB，所以PD=PAPB，故.（也可以由等体积法得到）.答案,二、直接证明与间接证明,例3已知数列an和bn满足：a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数，n为正整数.（1）对任意实数,证明:数列an不是等比数列；（2）试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论.思维启迪第（1）问用反证法；第（2）问用综合法.,(1)证明假设存在一个实数,使an是等比数列,则有=a1a3,即=,矛盾.所以an不是等比数列.,(2)解因为又b1=-(+18),所以当=-18时，bn=0(nN*)，此时bn不是等比数列；当-18时，b1=-(+18)0，由bn+1=bn.可知bn0,所以(nN*).故当-18时，数列bn是以-(+18)为首项，为公比的等比数列.,探究提高（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可.（2）综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用.变式训练3（2009菏泽调研）设函数f(x)=，给定数列an，其中a1=a,an+1=f(an)(nN*).（1）若an为常数列，求a的值；（2）当a0时，探究能否是等比数列？若是，求出an的通项公式；若不是，说明理由；（3）当a=1时，设bn=，数列bn的前n项和为Sn，求证：Snan，用（an+1-an）2-2(an+1+an)+1=0，通过计算a2、a3、a4的值，猜想an等于（）A.nB.n2C.n3D.解析由a1=1，故（a2-1）2-2(a2+1)+1=0-4a2=0,a2=4(a2=0舍去)同理计算a3=9,a4=16,故猜想an=n2.故选B.,B,5.在等差数列an中，若an0,公差d0,则有a4a6a3a7,类比以上性质，在等比数列bn中，若bn0,公比q1,则关于b4,b5,b7，b8的一个不等关系是（）A.b4+b8b5+b7B.b4+b8b5+b8D.b4+b7b5+b7.答案A,二、填空题6.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.,解析取特殊位置，当两正方形的两边分别对应平行时，重叠部分为小正方形，边长为，故面积为；类比到空间，重叠部分为小立方体，棱长为，则体积为.答案,7.（2009汕头调研）观察下列式子：则可以猜想：当n2时，有.解析观察n=2，3，4时不等式两边的特点，易知一般的结论是.,8.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23.仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为.,解析分析条件，归纳出如下结论：分裂数是以3为首项，公差为2的等差数列中的项（即大于1的奇数序列）且m3的“分裂数”由m个连续的奇数构成.问题是确认59位于哪一组.由an=2n+1知若令59=2x+1,则x=29,即59位于上述数列中第29项.m3的“分裂数”组含有m个奇数，故有29的最小整数解即为所求.化简不等式有m2+m-600.解得m=8符合题意.答案8,三、解答题9.观察下列三角形数表假设第n行的第二个数为an（n2，nN*）,(1)依次写出第六行的所有6个数字；（2）归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式.解（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6.（2）依题意an+1=an+n(n2)，a2=2,an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=2+2+3+(n-1)=2+,所以an=(n2).,10.已知在正项数列an中,a1=2,点在双曲线y2-x2=