立体几何中的向量方法3.ppt

3.2立体几何中的向量方法,第三课时,课题引入,立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题.,空间的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量之间的夹角.像前面说的那样，我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算(特别是数量积)解决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题.,课题引入,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.,（化为向量问题或向量的坐标问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,类似用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：,合作探究,例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,分析：由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以A为起点的三个向量可以将各棱用向量形式表示.根据题设，不妨设这三个向量的模都等于1,为了求出对角线AC1的长，可以将用与棱有关的向量表示出来.,例1如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？,解:如图,设,依据向量的加法法则，,化为向量问题,所以,进行向量运算,回到图形问题,这个晶体的对角线AC1的长是棱长的倍。,合作探究,空间两点间的距离，可以表示为以这两点为起点和终点的向量的模.向量的模满足关系式,立体几何中有关距离的问题，经常用空间向量的数量积解决.,思考？若已知两点的坐标，如何求距离？,合作探究,思考1？本题中平行六面体的对角线BD1的长与棱长有什么关系？,易知对角线BD1的长与棱长的关系.,合作探究,思考2？如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?,这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长.,合作探究,思考3？本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平面的距离或两点间的距离）,分析：面面距离转化为点面距离来求.,所求的距离是,如何用向量法求点到平面的距离?,合作探究,思考？如何用向量法求点到平面的距离?,如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示d?,分析:过P作PO于O,连结OA,这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的投影的绝对值.,合作探究,补例1如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.,D,A,B,C,G,F,E,分析:用几何法做相当困难,注意到坐标系建立后各点坐标容易得出,又因为求点到平面的距离可以用法向量来计算,而法向量总是可以快速算出.,果断地用坐标法处理！,合作探究,补例1如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.,D,A,B,C,G,F,E,设平面EFG的一个法向量为,合作探究,思考？你能用上述方法再求一下思考3吗？,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=AD=1且BAD=BAA1=DAA1=60,求点A1到底面ABCD的距离.,分析:有现成的,只要再找出平面ABCD的一个法向量即可!,注意到任一向都可以用基向量来表示,可考虑用待定系数法找一个法向量.,合作探究,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,补例2已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=4,底面ABC中,AC=BC=2,BCA=90,E是AB的中点,求异面直线CE与AB1的距离.,解：建立如图所示的直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),E(1,1,0),A(2,0,0),B(0,2,4),设的公垂线的方向向量为，则,合作探究,1.如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PD=DC=a,M、N分别是AD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.,深化提高,解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0),A(,0,0),B(,0),C(0,0),P(0,0,),2.如图，正方体AC1的棱长为1，点M是棱AA1的中点，点O是BD1的中点，求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线，并求OM的长.,深化提高,3.四面体SABC中，三角形ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,SA=3a，ABC为1200，SAABC，求点A到面SBC的距离,深化提高,4.已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD平面ABCD，且PD=1，E，F分别是AB，BC的中点,（1）求直线AC到平面PEF的距离（2）求D到平面PEF的距离,直线到与它平行平面的距离转化为点到平面的距离,两个平行平面的距离转化为点到平面的距离,深化提高,5.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点E为棱CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离.,深化提高,当堂检测,1.如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,答:CD的长为.,2.如图，已知两条异面直线所成的角为，在直线a、b上分别取,E和A,F，使且(称为异面直线a,b的公垂线)，已知，AF=n，EF=l，求公垂线的长d.,解：,当E,F在公垂线同一侧时取负号，当d等于0是即为“余弦定理”.,当堂检测,