97 重积分习题课.ppt

重积分复习,一、知识点回顾；二、典型例题分析；三、练习,积分区域为：,二重积分（几何意义：曲顶柱体体积）物理意义：平面的质量,X型,积分区域为：,Y型,二重积分在极坐标下的计算公式,1、被积分函数或者积分区域含有圆，常用极坐标；2、在积分中注意使用对称性与奇偶性;3、一般变量代换中注意雅可比行列式要加绝对值,1、极点不在区域D的内部,2、极点位于区域D的内部,3、极点在区域D的边界上,二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：,作出积分区域的草图,选择适当的坐标系,选定积分次序，定出积分限,1、关于坐标系的选择：,这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑,被积函数呈,常用极坐标,其它以直角坐标为宜,2、关于积分次序的选择,选序原则,能积分，少分片，计算简单,3、关于积分限的确定,二重积分的面积元,为正,确定积分限时一定要保证下限小于上限,积分区域为圆形、扇形、圆环形,极坐标系下勿忘r,4、关于对称性,利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性时要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用,对,若D关于x轴对称,若D关于y轴对称,若D关于原点对称,称为关于积分变量的轮换对称性,是多元积分所独有的性质,奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质,、简单地说就是:,若D关于直线y=x对称,例1,解1,解2,注意两种积分次序的计算效果！,解,D关于x,y轴及原点及y=x对称,故,故,例2计算,解,例3计算,解,D的边界,极点在D的边界上,圆周在(0,0)的切线斜率为,故,例4计算,例5计算,解,例6,设f(x)在0,1上连续,求,解,试将二重积分,化成定积分,解,由积分域和被积函数的对称性,有,用极坐标,例7,为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序,即：化为一个定积分和一个二重积分的运算,三重积分,.,1、面投影法（先一后二法）,2、轴投影法-截面法,先二重积分，后定积分,.,利用柱面坐标计算三重积分,dV=,利用球面坐标计算三重积分,dV=,r2,sindrdd,rcos),sindrdd,r2,利用对称性和奇偶性化简三重积分的计算时应注意:,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标面的奇偶性,三重积分及更多重积分没有几何意义,重积分应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积：平面图形面积,当薄片是均匀的，重心称为形心.,(3)重心坐标,空间物体的重心(质心),注：可妙用形心坐标公式求某些重积分,1、薄片对于x轴的转动惯量,2、薄片对于y轴的转动惯量,(4.)转动惯量,(4.)转动惯量,薄片对轴上单位质点的引力,为引力常数,(5)引力,15：计算,其中,从而,16.在半径为a的均匀密度的球体内部挖掉两个互相内切于大球的半径为a/2的球体，试求剩余部分对于这三个球的公共直径的转动惯量。解：假设设坐标原点为大球球心；公共直径所在轴为z轴.用球面坐标系计算，,练习,设f(x)连续，证明,在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与,直径等长的同样材料的