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1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(一）,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,11,121,1331,14641,15101051,1615201561,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：,当时，其图象是右图中的7个孤立点,二项式系数的性质,2二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式得到,图象的对称轴：,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以相对于的增减情况由决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：,同时由于，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地，展开式的二项式系数有如下性质：,（1）,（2）,（3）当时，,（4）,当时，,课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；4）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；,126,21,4或5,例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,例2、已知的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。,解：依题意，为偶数，且,变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？,例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申：1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项2、若展开式中只有第6项的系数最大，则不含x的项等于()A.210B.120C.461D.416,例4、在的展开式中，1）系数的绝对值最大的项是第几项？2）求二项式系数最大的项；3）求系数最大的项；4）求系数最小的项。,练习：,（1）二项式系数的三个性质。
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