【真题】2016年高考数学（理科）课标卷Ⅲ（Word版含答案解析）.doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合S=x|(x-2)(x-3)0,T=x|x0,则ST=() A.2,3B.(-,23,+)C.3,+)D.(0,23,+)2.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-I3.已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.1204.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ,B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 的月份有5个5.若tan =34,则cos2+2sin 2=()A.6425B.4825C.1D.16256.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.3412.定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.若x,y满足约束条件x-y+10,x-2y0,x+2y-20,则z=x+y的最大值为.14.函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=sin x+3cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.15.已知f(x)为偶函数,当x0,记|f(x)|的最大值为A.()求f (x);()求A;()证明|f (x)|2A.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.()若PFB=2PCD,求PCD的大小;()若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGCD.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin+4=22.()写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;()设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.()当a=2时,求不等式f(x)6的解集;()设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.DS=x|(x-2)(x-3)0=x|x2或x3,在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知ST=(0,23,+),故选D.方法总结解决集合运算问题常常要数形结合,数轴是解决这类问题的一把“利器”.2.Czz=(1+2i)(1-2i)=5,4izz-1=4i4=i,故选C.3.AcosABC=BABC|BA|BC|=32,所以ABC=30,故选A.4.D由雷达图易知A、C正确;七月的平均最高气温超过20 ,平均最低气温约为12 ,一月的平均最高气温约为6 ,平均最低气温约为2 ,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,故B正确;由雷达图知平均最高气温超过20 的月份有3个月.故选D.疑难突破本题需认真审题,仔细观察图形,采用估算的方法来求解.5.A当tan =34时,原式=cos2+4sin cos =cos2+4sincossin2+cos2=1+4tantan2+1=1+434916+1=6425,故选A.解后反思将所求式子的分母1用sin2+cos2代替,然后分子、分母同除以cos2,得到关于tan 的式子,这是解决本题的关键.6.A因为a=243=423,c=2513=523,函数y=x23在(0,+)上单调递增,所以423523,即ac,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以425423,即ba,所以ba0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以AB=(-a,-a),AC=(2a,-a),所以|AB|=2a,|AC|=5a,所以cosBAC=ABAC|AB|AC|=-2a2+a22a5a=-1010,故选C.9.B由三视图可知,该几何体的底面是边长为3的正方形,高为6,侧棱长为35,则该几何体的表面积S=232+2335+236=54+185.故选B.易错警示由于空间想象能力较差,误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积是造成失分的主要原因.10.B易知AC=10.设底面ABC的内切圆的半径为r,则1268=12(6+8+10)r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=32.此时球的体积V=43R3=92.故选B.11.A由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N0,ka2,由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,即ka2-a=k(a-c)-c-a,所以12=a-ca+c,即a=3c,所以e=13.故选A.思路分析根据题意设过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段OE中点的坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出各对应点的坐标,难点在于参数的选择.12.C当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.解后反思本题是“新定义”问题,首先理解清“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类讨论时要不重不漏.二、填空题13.答案32解析由题意画出可行域(如图所示),其中A(-2,-1),B1,12,C(0,1),由z=x+y知y=-x+z,当直线y=-x+z过点B1,12时,z取最大值32.解后反思解决与线性规划有关的最值问题时,一定要注意目标函数的几何意义:形如z=y-bx-a的目标函数的最值问题,可转化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)连线的斜率的最值问题;形如z=(x-a)2+(y-b)2的目标函数的最值问题,可转化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间距离的平方的最值问题.14.答案23解析设f(x)=sin x-3cos x=2sinx+53,g(x)=sin x+3cos x=2sinx+3,将g(x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x-)=2sinx-+3=2sinx+53=f(x)的图象,所以x-+3=2k+x+53,kZ,此时=-2k-43,kZ,当k=-1时,有最小值,为23.易错警示审题不清是失分的主要原因.15.答案y=-2x-1解析令x0,则-x0),则f (x)=1x-3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.16.答案4解析由题意可知直线l过定点(-3,3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,3),由于|AB|=23,r=23,所以圆心到直线AB的距离为d=(23)2-(3)2=3,又由点到直线的距离公式可得d=|3m-3|m2+1=3,解得m=-33,所以直线l的斜率k=-m=33,即直线l的倾斜角为30.如图,过点C作CHBD,垂足为H,所以|CH|=23,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|=23cos30=4.解后反思涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法求解.三、解答题17.解析()由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a10.(2分)由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,于是an=11-1n-1.(6分)()由()得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.(12分)思路分析()先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是否为一常数,其中说明an0是非常重要的.()利用第()问的结论解方程求出.18.解析()由折线图中数据和附注中参考数据得t=4,i=17(ti-t)2=28,i=17(yi-y)2=0.55,i=17(ti-t)(yi-y)=i=17tiyi-ti=17yi=40.17-49.32=2.89,r2.890.5522.6460.99.(4分)因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)()由y=9.3271.331及()得b=i=17(ti-t)(yi-y)i=17(ti-t)2=2.89280.10,a=y-bt=1.331-0.1040.93.所以,y关于t的回归方程为y=0.93+0.10t.(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得y=0.93+0.109=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)19.解析()由已知得AM=23AD=2.取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN=12BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)()取BC的中点E,连结AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,且AE=AB2-BE2=AB2-BC22=5.以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,PM=(0,2,-4),PN=52,1,-2,AN=52,1,2.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则nPM=0,nPN=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0,(10分)可取n=(0,2,1).于是|cos|=|nAN|n|AN|=8525.即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.(12分)方法总结第()问中线面平行的证明:可以通过构造平行四边形得出线线平行,从而进行证明,也可以取BC的中点,构造面面平行从而获证线面平行.注意空间向量法是解决立体几何问题的常用方法.20.解析由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)()由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)()设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)疑难突破第()问求解关键是把ARFQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第()问需找到AB中点所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨论思想的应用.21.解析()f (x)=-2sin 2x-(-1)sin x.(2分)